Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
（1）求证：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的长；
（3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值．

Answer 1

分析：（1）由CD∥AB，得∠DCA=∠CAB，加上一组直角，即可证得所求的三角形相似．
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AC的长，根据（1）题所得相似三角形的比例线段，即可求出DC的长．
（3）分析图象可知：四边形AFEC的面积可由△ABC、△BEF的面积差求得，分别求出两者的面积，即可得到y、t的函数关系式，进而可根据函数的性质及自变量的取值范围求出y的最小值．

解答：解：（1）∵CD∥AB，∴∠BAC=∠DCA
又∵AC⊥BC，∠ACB=90°，∴∠D=∠ACB=90°，
∴△ACD∽△BAC．

（2）Rt△ABC中，AC=

AB2-BC2

=8cm，
∵△ACD∽△BAC，∴

DC

AC

=

AC

AB

，
即

DC

8

=

8

10

，解得：DC=6.4cm．

（3）过点E作AB的垂线，垂足为G，
∵∠ACB=∠EGB=90°，∠B公共，
∴△ACB∽△EGB，
∴

EG

AC

=

BE

AB

，即

EG

8

=

t

10

，故EG=

4

5

t；
y=S_△ABC-S_△BEF
=

1

2

×6×8-

1

2

(10-2t)•

4

5

t=

4

5

t2-4t+24
=

4

5

(t-

5

2

)2+19；
故当t=

5

2

时，y的最小值为19．

点评：此题考查了梯形的性质、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法以及二次函数最值的应用等知识，能够将面积问题转换为二次函数的最值问题是解答（3）题的关键．