Question

7、如图所示，△ABC是正三角形，△A₁B₁ C₁的三条边A₁B₁、B_lC₁、C₁A₁交△ABC各边分别于C₂、C₃，A₂、A₃，B₂、B₃．已知A₂C₃=C₂B₃=B₂A₃，且C₂C₃²+B₂B₃²=A₂A₃²．请你证明：A_lB₁⊥C₁A₁．

Answer 1

分析：如图，过A₂作C₃C₂的平行线交过C₂所作C₃A₂的平行线于点O，连接OA₃、0B₃，可证得四边形A₂OC₂C₃和四边形OB₃B₂A₃是平行四边形，则可得OA₂=C₂C₃，OA₃=B₂B₃，由勾股定理的逆定理得∠A₂OA₃=90°，根据两角边与边的平行关系，即可证得∠C₁A₁B₁=90°，即A₁B₁⊥C₁A₁．

解答：证明：如图，过A₂作C₃C₂的平行线交过C₂所作C₃A₂的平行线于点O，连接OA₃、0B₃，
∴A₂OC₂C₃是平行四边形，
∴A₂O∥C₃C₂，且A₂O=C₃C₂，OC₂∥A₂C₃且OC₂=A₂C₃=B₃C₂，
∴△OB₃C₂是正三角形，
∴∠OB₃C₂=60°=∠B，
∴OB₃∥A₃B₂，
又∵0B₃=B₃C₂=A₃B₂，
∴OB₃B₂A₃是平行四边形，
∴OA₃∥B₃B₂且OA₃=B₃B₂，
∵C₂C₃²+B₂B₃²=A₂A₃²，
∴OA₂²+OA₃²=A₂A₃²，
在△A₂OA₃中，
∵OA₂²+OA₃²=A₂A₃²，
∴由勾股定理的逆定理得∠A₂OA₃=90°，
∵已证OA₃∥B₃B₂，即OA₃∥A₁C₁，A₂O∥C₃C₂，即A₂O∥B₁A₁，
∴∠C₁A₁B₁=90°，
∴A₁B₁⊥C₁A₁．

点评：本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理的应用和平行四边形的性质，做好辅助线，构建平行四边形，运用其性质，是解答本题的关键．