【题目】如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,且BC为⊙O的直径,在劣弧上取一点D,使,将△ADC沿AD对折,得到△ADE,连接CE.
(1)求证:CE是⊙O的切线;
(2)若CEC D,劣弧的弧长为π,求⊙O的半径.
【答案】(1)见解析;(2)圆的半径为3.
【解析】
(1)在△ACE中,根据三角形内角和为180°,则2α+2β+2γ=180°,即可求解;
(2)证明四边形AMCN为矩形,,而AB=x,则
sin∠ABM=,即∠ABM=60°,即可求解.
(1)∵,∴∠CAD=∠BCA=α=∠EAD,
设:∠DCA=∠DEA=β,∠DCE=∠DEC=γ,
则△ACE中,根据三角形内角和为180°,
∴2α+2β+2γ=180°,
∴α+β+γ=90°,
∴CE是⊙O的切线;
(2)过点A作AM⊥BC,延长AD交CE于点N,
则DN⊥CE,∴四边形AMCN为矩形,
设:AB=CD=x,则CEx,
则CNCEx=AM,而AB=x,
则sin∠ABM,∴∠ABM=60°,
∴△OAB为等边三角形,即∠AOB=60°,
2πr=π,
解得:r=3,
故圆的半径为3.
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【题目】某学校开展了主题为“垃圾分类,绿色生活新时尚”的宣传活动,为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况,该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查,将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计,并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图.
等级 | 频数 | 频率 |
优秀 | 21 | 42% |
良好 | m | 40% |
合格 | 6 | n% |
待合格 | 3 | 6% |
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)本次调查随机抽取了 名学生;表中m= ,n= ;
(2)补全条形统计图;
(3)若全校有2000名学生,请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人.
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【题目】已知∠AOB=60°,OC是∠AOB的平分线,点D为OC上一点,过D作直线DE⊥OA,垂足为点E,且直线DE交OB于点F,如图所示.若DE=2,则DF=_____.
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【题目】阅读下列材料,完成相应的学习任务:如图(1)在线段AB上找一点C,C把AB分为AC和BC两条线段,其中AC>BC.若AC,BC,AB满足关系AC2=BCAB.则点C叫做线段AB的黄金分割点,这时=≈0.618,人们把叫做黄金分割数,我们可以根据图(2)所示操作方法我到线段AB的黄金分割点,操作步骤和部分证明过程如下:
第一步,以AB为边作正方形ABCD.
第二步,以AD为直径作⊙F.
第三步,连接BF与⊙F交于点G.
第四步,连接DG并延长与AB交于点E,则E就是线段AB的黄金分割点.
证明:连接AG并延长,与BC交于点M.
∵AD为⊙F的直径,
∴∠AGD=90°,
∵F为AD的中点,
∴DF=FG=AF,
∴∠3=∠4,∠5=∠6,
∵∠2+∠5=90°,∠5+∠4=90°,
∴∠2=∠4=∠3=∠1,
∵∠EBG=∠GBA,
∴△EBG∽△GBA,
∴=,
∴BG2=BEAB…
任务:
(1)请根据上面操作步骤与部分证明过程,将剩余的证明过程补充完整;(提示:证明BM=BG=AE)
(2)优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法,优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数.为优选法的普及作出重要贡献的我国数学家是 (填出下列选项的字母代号)
A.华罗庚
B.陈景润
C.苏步青
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【题目】如图,有一菱形纸片ABCD,∠A=60°,将该菱形纸片折叠,使点A恰好与CD的中点E重合,折痕为FG,点F、G分别在边AB、AD上,联结EF,那么cos∠EFB的值为____.
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【题目】某校开展了“文明城市”活动周,活动周设置了“:文明礼仪,:生态环境,:交通安全,:卫生保洁”四个主题活动,每个学生限选一个主题参与,为了解活动开展情况,学校随机抽取了部分学生进行调查,并根据调查结果绘制了如下图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图.
(1)本次随机调查的学生人数是_______人;
(2)补全条形统计图;
(3)在扇形统计图中,“”主题对应扇形的圆心角为________度.
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