分析 (1)根据等边三角形的性质得出AB=AC,∠BAC=60°,根据旋转得出△ACP′≌△ABP,求出PA=P′A=3,PB=P′C=4,∠BAP=∠CAP′,求出∠P′AP=∠BAC=60°,推出△PAP′是等边三角形,求出PP′=P′A=3,根据勾股定理的逆定理求出∠PP′C=90°,即可得出答案;
(2)根据旋转得出△ACE′≌△ABE,根据全等得出AE=AE′,BE=CE′,∠E′AC=′BAE,求出∠FAE′=∠EAF,根据全等三角形的判定推出△AEF≌△AE′F,推出FE=FE′,根据勾股定理求出E′F即可.
解答
解:(1)∵三角形ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
如图1,将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP′处,
则△ACP′≌△ABP,
∴PA=P′A=3,PB=P′C=4,∠BAP=∠CAP′,
∴∠P′AP=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°,
∴△PAP′是等边三角形,
∴PP′=P′A=3,
在△PP′C中,PP'2+P′C2=9+15=25=PC2,
∴△PP′C是直角三角形,
∴∠PP′C=90°,
∴∠APB=∠AP′C=60°+90°=150°;
(2)将△ABE绕顶点A逆时针旋转90°到△ACE′处,
则△ACE′≌△ABE,
∴AE=AE′,BE=CE′,∠E′AC=′BAE,
∵∠BAC=90°,∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠CAF=45°,
∠FAE′=∠E′AC+∠FAC=∠BAE+∠FAC=45°=∠EAF,
在△AEF和△AE′F中,
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE′}\\{∠EAF=∠E′AF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$,
∴△AEF≌△AE′F,
∴FE=FE′,
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠B=∠ACB=45°,
∴∠E′CA=∠B=45°,
∴∠E′CF=45°+45°=90°,
在Rt△E′FC中,E′C2+FC2=E′F2,
∴EF2=BE2+CF2=52+42=41,
∴EF=$\sqrt{41}$.
点评 本题考查了旋转的性质,全等三角形的性质和判定,勾股定理和勾股定理的逆定理的应用,能综合运用性质进行推理是解此题的关键,证明过程类似.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | x≥1 | B. | x<-2 | C. | 1≤x<-2 | D. | x≥1或x<-2 |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 4个 | B. | 3个 | C. | 2个 | D. | 1个 |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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