Question

如果a²+b²+c²=1，a+b+c=0，化简或求值：a²（

1

b

+

1

c

）+b²(

1

a

+

1

c

)+c2(

1

a

+

1

b

)．

Answer 1

考点：分式的化简求值

专题：计算题

分析：先利用单项式乘以多项式的法则展开并整理，再把a+b+c=0两边平方求出ab+bc+ac的值，然后代入计算即可得解．

解答：解：a²（

1

b

+

1

c

）+b²（

1

a

+

1

c

）+c²（

1

a

+

1

b

），
=

a2

b

+

a2

c

+

b2

a

+

b2

c

+

c2

a

+

c2

b

=（

a2

b

+

c2

b

）+（

a2

c

+

b2

c

）+（

b2

a

+

c2

a

）
=

a2+c2

b

+

a2+b2

c

+

b2+c2

a

=

1-b2

b

+

1-c2

c

+

1-a2

a

=

1

a

+

1

b

+

1

c

-a-b-c
=

ab+bc+ac

abc

-（a+b+c）
=

ab+bc+ac

abc

，
∵a+b+c=0，
∴（a+b+c）²=0，
∴a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=0，
∴ab+bc+ac=-

1

2

，
∴原式=-

1

2abc

．

点评：本题考查了分式的化简求值，主要利用了完全平方公式和分式的加减混合运算，整理并求出ab+bc+ac的值是解题的关键．