【题目】如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC.
(1)若∠B=72°,∠C=30°,①求∠BAE的度数;②求∠DAE的度数;
(2)探究:如果只知道∠B=∠C+42°,也能求出∠DAE的度数吗?若能,请你写出求解过程;若不能,请说明理由.
【答案】(1)①39°;②21°;(2)21°.
【解析】试题分析:(1)①先根据三角形内角和定理计算出∠BAC=78°,然后根据角平分线定义得到∠BAE=∠BAC=39°;
②根据垂直定义得到∠ADB=90°,则利用互余可计算出∠BAD=90°﹣∠B=18°,然后利用∠DAE=∠BAE﹣∠BAD进行计算即可;
(2)由∠B+∠C+∠BAC=180°,∠B=∠C+42°可消去∠C得到∠BAC=222°﹣2∠B,则根据角平分线定义得到∠BAE=111°﹣∠B,接着在△ABD中利用互余得∠BAD=90°﹣∠B,然后利用∠DAE=∠BAE﹣∠BAD进行计算即可得到∠DAE=21°.
试题解析:解:(1)①∵∠B+∠C+∠BAC=180°,∴∠BAC=180°﹣72°﹣30°=78°,∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠BAC=39°;
②∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴∠BAD=90°﹣∠B=18°,∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=39°﹣18°=21°;
(2)能.
∵∠B+∠C+∠BAC=180°,∠B=∠C+42°,∴∠C=∠B﹣42°,∴2∠B+∠BAC=222°,∴∠BAC=222°﹣2∠B,∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=111°﹣∠B,在△ABD中,∠BAD=90°﹣∠B,∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=(111°﹣∠B)﹣(90°﹣∠B)=21°.
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【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2+2x经过原点O,且与直线y=x﹣2交于B,C两点.
(1)求抛物线的顶点A的坐标及点B,C的坐标;
(2)求证:∠ABC=90°;
(3)在直线BC上方的抛物线上是否存在点P,使△PBC的面积最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)若点N为x轴上的一个动点,过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M,则是否存在以O,M,N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】学校礼堂前4排共有(6a+3b+10)个座位,第1排有a个座位,第2排座位数比第3排座数的多5个,第3排座位数比第1排座位的2倍多6个.
(1)求第3排的座位数(用含a,b的式子表示):
(2)求第4排的座位数(用含a,b的式子表示):
(3)若前4排共有82个座位,求第3排比第2排多多少个座位.
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【题目】某市教育局对某镇实施“教育精准扶贫”,为某镇建中、小型两种图书室共30个.已知组建一个中型图书室需养殖类图书80本,种植类图书50本;组建一个小型图书室需养殖类图书30本,种植类图书60本.计划养殖类图书不超过2 000本,种植类图书不超过1 600本.
(1)符合题意的组建方案有几种?请写出具体的组建方案;
(2)若组建一个中型图书室的费用是2 000元,组建一个小型图书室的费用是1 500元,哪种方案费用最低?最低费用是多少元?
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,∠A的度数为60°,∠ABC、∠ACB的角平分线分别交于AC、AB于点D、E,CE、BD相交于点F.以下四个结论:①;②;③;④.其中结论一定正确的序号数是( )
A. ①② B. ①③ C. ③④ D ②④
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【题目】如图,二次函数的图象与一次函数的图象相交于、两点,从点和点分别引平行于轴的直线与轴分别交于,两点,点为线段上的动点,过点且平行于轴的直线与抛物线和直线分别交于,.
(1)求一次函数和二次函数的解析式,并求出点的坐标.
(2)当SR=2RP时,计算线段SR的长.
(3)若线段BD上有一动点Q且其纵坐标为t+3,问是否存在t的值,使.若存在,求的值;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,已知数轴上点A表示的数为a,点B表示的数为b,且满足.
写出a、b及AB的距离:
______ ______ ______
若动点P从点A出发,以每秒6个单位长度沿数轴向左匀速运动,动点Q从点B出发,以每秒4个单位长度向左匀速运动.
若P、Q同时出发,问点P运动多少秒追上点Q?
若M为AP的中点,N为PB的中点,点P在运动过程中,线段MN是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变,请求出线段MN的长.
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