Question

如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE＝，A(3，0)，D(－1，0)，E(0，3)．

(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标；

(2)求证：CB是△ABE外接圆的切线；

(3)试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0＜t≤3)时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：由题意，设抛物线解析式为y＝a(x－3)(x＋1)． 　　将E(0，3)代入上式，解得：a＝－1． 　　∴y＝－x2＋2x＋3． 　　则点B(1，4)． 　　(2)证明：如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M(0，4)． 　　在Rt△AOE中，OA＝OE＝3， 　　∴∠1＝∠2＝45°，AE＝＝3． 　　在Rt△EMB中，EM＝OM－OE＝1＝BM， 　　∴∠MEB＝∠MBE＝45°，BE＝＝． 　　∴∠BEA＝180°－∠1－∠MEB＝90°． 　　∴AB是△ABE外接圆的直径． 　　在Rt△ABE中，tan∠BAE＝＝＝tan∠CBE， 　　∴∠BAE＝∠CBE． 　　在Rt△ABE中，∠BAE＋∠3＝90°，∴∠CBE＋∠3＝90°． 　　∴∠CBA＝90°，即CB⊥AB． 　　∴CB是△ABE外接圆的切线． 　　(3)解：Rt△ABE中，∠AEB＝90°，tan∠BAE＝，sin∠BAE＝，cos∠BAE＝； 　　若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形； 　　①DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合； 　　由D(－1，0)、E(0，3)，得OD＝1、OE＝3，即tan∠DEO＝＝tan∠BAE，即∠DEO＝∠BAE 　　满足△DEO∽△BAE的条件，因此O点是符合条件的P1点，坐标为(0，0)． 　　②DE为短直角边时，P2在x轴上； 　　若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠DEP2＝∠AEB＝90°，sin∠DP2E＝sin∠BAE＝； 　　而DE＝＝，则DP2＝DE÷sin∠DP2E＝÷＝10，OP2＝DP2－OD＝9 　　即：P2(9，0)； 　　③DE为长直角边时，点P3在y轴上； 　　若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠EDP3＝∠AEB＝90°，cos∠DEP3＝cos∠BAE＝； 　　则EP3＝DE÷cos∠DEP3＝÷＝，OP3＝EP3－OE＝； 　　综上，得：P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，－)． 　　(4)解：设直线AB的解析式为y＝kx＋b． 　　将A(3，0)，B(1，4)代入，得解得 　　∴y＝－2x＋6． 　　过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y＝3时，得x＝，∴F(，3)． 　　情况一：如图2，当0＜t≤时，设△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于点H，MN交AE于点G． 　　则ON＝AD＝t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L． 　　由△AHD∽△FHM，得，即． 　　解得HK＝2t． 　　∴S阴＝S△MND－S△GNA－S△HAD＝×3×3－(3－t)2－t·2t＝－t2＋3t． 　　情况二：如图3，当＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V． 　　由△IQA∽△IPF，得．即， 　　解得IQ＝2(3－t)． 　　∴S阴＝S△IQA－S△VQA＝×(3－t)×2(3－t)－(3－t)2＝(3－t)2＝t2－3t＋． 　　综上所述：s＝．