Question

18．己知α、β是一元二次方程x²+x-1=0的两个根，求2α⁵+5β³的值．

Answer 1

分析 首先利用二次方程x²+x-1=0的两根为α、β对代数式进行化简，然后再根据根与系数的关系进行求解得到结果．

解答 解：∵α、β是一元二次方程x²+x-1=0的两个根，
∴α²=1-α，β²=1-β，α+β=-1，
则α⁵=α•α²•α²=α•（1-α）（1-α）=（2α-1）（1-α）=5α-3
β³=β•β²=β（1-β）=β-β²=β-（1-β）=2β-1
∴2α⁵+5β³=2（5α-3）+5（2β-1）=10α+10β-11=-10-11=-21．

点评 此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．