Question

数学家已证明“不能用直尺和圆规三等分角”．如果不限作图工具呢？有位数学爱好者制作了如下的“三等分角器”；将量角器直径BC和一条直尺AB放在同一条直线上，移动量角器使得AB=OB=OC，另一条直尺的边缘BD过点B，且BD⊥AB，并用固件按这样的位置固定．
（1）如图，把∠MPN的顶点P放在三等分角器的BD线上，移动器具，使∠MPN的一边MP过点A，另一边PN和半圆相切．请你说明直线PB和PO三等分∠MON．
（2）若从量角器上读的∠COE=x（0＜x＜90°）请用含x的代数式表示∠MPN的度数．

Answer 1

解：（1）∵PN切⊙O于E，
∴PE⊥OE，
∵∠PBO=∠PEO=90°，
在Rt△PBO和Rt△PEO中，
，
∴Rt△PBO≌Rt△PEO（HL），
∴∠OPE=∠OPB，
∵AB=BO，PB⊥OA，
∴PA=PB，
∴∠MPB=∠OPB，
即∠MPB=∠OPB=∠NPO．

（2）∵Rt△PBO≌Rt△PEO，
∴∠POB=∠POE，
∵∠EOC=x，
∴∠POE=（180°-x）=90°-x，
∵∠PEO=90°，
∴∠MPO=90°-（90°-x）=x，
∴∠MPN=3∠MPO=x．
分析：（1）证Rt△PBO≌Rt△PEO，推出∠OPE=∠OPB，求出PA=PO，根据等腰三角形性质求出∠MPB=∠OPB，即可得出答案；
（2）根据全等推出∠POB=∠POE，求出∠POE=（180°-x）=90°-x，根据三角形内角和定理求出∠MPO=x，代入∠MPN=3∠MPO求出即可．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形性质，线段垂直平分线性质，切线的性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．