Question

28、如图，四边形ABCD是正方形，延长边AD到E，使得CE∥BD．
（1）试比较正方形ABCD与△ABE面积的大小，并说明理由．
（2）如果条件“四边形ABCD是正方形”改为“四边形ABCD是梯形，AB∥CD”，其余条件都不变，那么梯形ABCD与△ABE面积的大小有什么关系？（只需写出结论，不必证明）

Answer 1

分析：（1）由正方形的对边平行，得到ED与BC平行，又CE与BD平行，根据两对边分别平行的四边形为平行四边形得到BCED为平行四边形，由平行四边形的对角线互相平分得到OD=OC，OB=OE，由对顶角相等，利用“SAS”得到三角形DOE与三角形BOC全等，根据正方形ABCD的面积等于四边形ABOD的面积与三角形BOC的面积之和，等量代换得到正方形的面积等于四边形ABOD的面积与三角形DOE的面积之和，即等于三角形ABE的面积；
（2）根据题意画出图形，如图所示，由BD与CE平行，根据平行线间的距离处处相等得到三角形BCD与三角形BDE的BD边上的高相等，根据同底等高的两三角形面积相等得到三角形BCD与三角形BDE的面积相等，由梯形ABCD的面积等于三角形ABD的面积与三角形BDC面积之和，等量代换得到梯形的面积等于三角形ABD的面积与BDE的面积之和即等于三角形ABE的面积．

解答：解：（1）正方形ABCD与△ABE面积相等，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴DE∥BC，又CE∥BD，
∴四边形BCED为平行四边形，
∴OB=OE，OD=OC，又∠DOE=∠COB，
∴△DOE≌△COB，
∴S_{正方形ABCD}=S_{四边形ABOD}+S_△BOC=S_{四边形ABOD}+S_△DOE=S_△ABE；
（2）根据题意画出图形，如图所示：

结论为：梯形ABCD与△ABE面积的相等．

点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，是一道探究结论型的题．本题考查利用变化的观点应对新知识的探究能力，有效的数学学习不能依靠简单的模仿与记忆，而是应从变换中探究不变的数学本质，再从不变的数学本质出发，寻求变化的规律，通过观察、猜想、归纳、类比等数学活动，形成对数学知识的理解，从而真正内化知识，获得方法的迁移，使能力得以形成．