【题目】如图(1)AB=9cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=7cm,点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动,它们运动的时间为t(s).
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等,请说明理由;
(2)在(1)的前提条件下,判断此时线段PC和线段PQ的位置关系,并证明;
(3)如图(2),将图(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=50°”,其他条件不变.设点Q的运动速度为xcm/s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等?若存在,求出相应的x、t的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)△ACP与△BPQ全等,理由见解析;(2)PC⊥PQ,证明见解析;(3)存在,当t=1s,x=2cm/s或t=s,x=cm/s时,△ACP与△BPQ全等.
【解析】
(1)利用定理证明;
(2)根据全等三角形的性质判断线段和线段的位置关系;
(3)分,两种情况,根据全等三角形的性质列式计算.
(1)△ACP与△BPQ全等,
理由如下:当t=1时,AP=BQ=2,
则BP=9﹣2=7,
∴BP=AC,
又∵∠A=∠B=90°,
在△ACP和△BPQ中,
,
∴△ACP≌△BPQ(SAS);
(2)PC⊥PQ,
证明:∵△ACP≌△BPQ,
∴∠ACP=∠BPQ,
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°.
∴∠CPQ=90°,
即线段PC与线段PQ垂直;
(3)①若△ACP≌△BPQ,
则AC=BP,AP=BQ,
∴9﹣2t=7,
解得,t=1(s),则x=2(cm/s);
②若△ACP≌△BQP,
则AC=BQ,AP=BP,
则2t=×9,
解得,t=(s),则x=7÷=(cm/s),
故当t=1s,x=2cm/s或t=s,x=cm/s时,△ACP与△BPQ全等.
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB,于点E
(1)求证:△ACD≌△AED;
(2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长。
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【题目】阅读理解题:在路上,我们经常看到这样的汽车牌照号:“辽A30803”,“辽P12321”,“京C76H67”,…,给人以对称美的感受.除了表示地区标志的汉字和字母(如:沈阳车牌辽A,葫芦岛车牌辽P等)以外,像“30803”、“76H67”这样的由数或由数和字母共同组成的车牌号,我们称之为“轴对称车牌号”.在正整数中,现定义为,“形如的正整数叫做轴对称数.”比如:99,363,2112等都是轴对称数.
(1)写出最小的五位“轴对称数”;
(2)请你设计一个我们葫芦岛市的车牌号,要求:此车牌号的后五位是“轴对称车牌号”,且由数字和字母组成的;
(3)已知某车的车牌号是由数字组成的“轴对称车牌号”,设首位数字为m,去掉首尾数字后的中间的三位数为n.已知多项式x2﹣2m能用公式法分解因式,n是多项式a﹣1与多项式a+102相乘得到的多项式的一次项系数,求出符合条件的车牌号.
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【题目】高速铁路列车(简称:高铁)是人们出行的重要交通工具:已知高铁平均速度是普通铁路列车(简称:普客)平均速度的的3倍.同样行驶690km,高铁比普客少用4.6h.
(1)求高铁的平均速度.
(2)某天王老师乘坐8:40出发的高铁,到里程1050km的A市参加当天14:00召开的会议.若他从A市高铁站到会议地点最多还需要1.5h,试问在高铁准点到达的情况下,他能在开会之前赶到会议地点吗?
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【题目】下面是某同学对多项式(x2﹣4x+2)(x2﹣4x+6)+4进行因式分解的过程
解:设x2﹣4x=y,
原式=(y+2)(y+6)+4 (第一步)
=y2+8y+16 (第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2﹣4x+4)2(第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 (填序号).
A.提取公因式 B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式
(2)该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换,得到因式分解的最后结果.这个结果是否分解到最后? .(填“是”或“否”)如果否,直接写出最后的结果 .
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2﹣2x)(x2﹣2x+2)+1进行因式分解.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,E为CD的中点,F为BE上的一点,连结CF并延长交AB于点M,MN⊥CM交射线AD于点N.
(1)当F为BE中点时,求证:AM=CE;
(2)若 =2,求的值;
(3)若=n,当n为何值时,MN∥BE?
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【题目】如图,⊙O的直径AB⊥弦CD,垂足为点E,点P在优弧CAD上(不包含点C和点D),连PC、PD、CB,tan∠BCD=.
(1)求证:AE=CD;
(2)求sin∠CPD.
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【题目】如图,学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度,他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°,然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°,已知DE⊥EA,斜坡CD的长度为30m,DE的长为15m,则树AB的高度是_____m.
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【题目】如图:在△ABC中,AB=13,BC=12,点D,E分别是AB,BC的中点,连接DE,CD,如果DE=2.5,那么△ACD的周长是_____.
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