Question

15．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB≌△Rt△OA′B′，直角边OA在x轴的正半轴上，OB′在y轴的正半轴上，已知OB=2，∠BOA=30°．
（1）直接写出点B和点A′的坐标；
（2）求经过点B和点B′的直线所对应的一次函数解析式，并判断点A′是否在直线BB′上．

Answer 1

分析 （1）Rt△OAB中根据三角函数可求得OA、AB的长，即可得点B坐标；由三角形全等可得OA=OA′=$\sqrt{3}$，OB′=OB=2，∠AOB=∠A′OB′=30°，过点A′作A′C⊥OB′于点C，在Rt△OA′C中由三角函数可得OC、A′C的长，即可得点A′坐标；
（2）根据B、B′的坐标用待定系数法求得直线BB′解析式，在将点A′坐标代入即可判断．

解答 解：（1）Rt△OAB中，∵OB=2，∠BOA=30°，
∴OA=OBcos∠BOA=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
AB=OBsin∠BOA=2×$\frac{1}{2}$=1，
∴点B坐标为（$\sqrt{3}$，1），
如图，过点A′作A′C⊥OB′于点C，

∵Rt△OAB≌△Rt△OA′B′，
∴OA=OA′=$\sqrt{3}$，OB′=OB=2，∠AOB=∠A′OB′=30°，
∴OC=OA′cos∠A′OB′=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$，
A′C=OA′sin∠A′OB′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴点A′的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），点B′的坐标为（0，2）；

（2）设直线BB′解析式为y=kx+b，
将点B（$\sqrt{3}$，1）、B′（0，2）代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}k+b=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线BB′的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2，
∵当x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+2=$\frac{3}{2}$，
∴点A′（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）在直线BB′上．

点评 本题考查解直角三角形、全等三角形的性质、待定系数法求函数解析式及直线上点的坐标特征，根据三角函数及全等三角形性质求得所需点的坐标是解题的关键．