Question

（2013•荆州）如图，已知：如图①，直线y=-

3

x+

3

与x轴、y轴分别交于A、B两点，两动点D、E分别从A、B两点同时出发向O点运动（运动到O点停止）；对称轴过点A且顶点为M的抛物线y=a（x-k）²+h（a＜0）始终经过点E，过E作EG∥OA交抛物线于点G，交AB于点F，连结DE、DF、AG、BG．设D、E的运动速度分别是1个单位长度/秒和

3

个单位长度/秒，运动时间为t秒．
（1）用含t代数式分别表示BF、EF、AF的长；
（2）当t为何值时，四边形ADEF是菱形？判断此时△AFG与△AGB是否相似，并说明理由；
（3）当△ADF是直角三角形，且抛物线的顶点M恰好在BG上时，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）首先求出一次函数y=-

3

x+

3

与坐标轴交点A、B的坐标，然后解直角三角形求出BF、EF、AF的长；
（2）由EF∥AD，且EF=AD=t，则四边形ADEF为平行四边形，若?ADEF是菱形，则DE=AD=t．由DE=2OE，列方程求出t的值；
如答图1所示，推出∠BAG=∠GAF，∠ABG=∠AGF=30°，证明△AFG与△AGB相似．
（3）当△ADF是直角三角形时，有两种情形，需要分类讨论：
①若∠ADF=90°，如答图2所示．首先求出此时t的值；其次求出点G的坐标，利用待定系数法求出直线BG的解析式，得到点M的坐标；最后利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式；
②若∠AFD=90°，如答图3所示．解题思路与①相同．

解答：解：（1）在直线解析式y=-

3

x+

3

中，令x=0，得y=

3

；令y=0，得x=1．
∴A（1，0），B（0，

3

），OA=1，OB=

3

．
∴tan∠OAB=

3

，∴∠OAB=60°，
∴AB=2OA=2．
∵EG∥OA，∴∠EFB=∠OAB=60°．
∴EF=

BE

tan60°

=

3 t

3

=t，BF=2EF=2t，
∴AF=AB-BF=2-2t．

（2）①∵EF∥AD，且EF=AD=t，∴四边形ADEF为平行四边形．
若?ADEF是菱形，则DE=AD=t．
由DE=2OD，即：t=2（1-t），解得t=

2

3

．
∴t=

2

3

时，四边形ADEF是菱形．
②此时△AFG与△AGB相似．理由如下：
如答图1所示，连接AE，

∵四边形ADEF是菱形，
∴∠DEF=∠DAF=60°，
∴∠AEF=30°．
由抛物线的对称性可知，AG=AE，
∴∠AGF=∠AEF=30°．
在Rt△BEG中，BE=

2 3

3

，EG=2，
∴tan∠EBG=

EG

BE

=

3

，
∴∠EBG=60°，
∴∠ABG=∠EBG-∠EBF=30°．
在△AFG与△AGB中，∵∠BAG=∠GAF，∠ABG=∠AGF=30°，
∴△AFG∽△AGB．

（3）当△ADF是直角三角形时，
①若∠ADF=90°，如答图2所示：

此时AF=2DA，即2-2t=2t，解得t=

1

2

．
∴BE=

3

t=

3

2

，OE=OB-BE=

3

2

，
∴E（0，

3

2

），G（2，

3

2

）．
设直线BG的解析式为y=kx+b，将B（0，

3

），G（2，

3

2

）代入得：

b= 3 2k+b= 3 2

，解得k=-

3

4

，b=

3

，
∴y=-

3

4

x+

3

．
令x=1，得y=

3 3

4

，
∴M（1，

3 3

4

）．
设抛物线解析式为y=a（x-1）²+

3 3

4

，点E（0，

3

2

）在抛物线上，
∴

3

2

=a+

3 3

4

，解得a=-

3

4

．
∴y=-

3

4

（x-1）²+

3 3

4

=-

3

4

x²+

3

2

x+

3

2

．
②若∠AFD=90°，如答图3所示：

此时AD=2AF，即：t=2（2-2t），解得：t=

4

5

．
∴BE=

3

t=

4 3

5

，OE=OB-BE=

3

5

，
∴E（0，

3

5

），G（2，

3

5

）．
设直线BG的解析式为y=kx+b，将B（0，

3

），G（2，

3

5

）代入得：

b= 3 2k+b= 3 5

，解得k=-

2 3

5

，b=

3

，
∴y=-

2 3

5

x+

3

．
令x=1，得y=

3 3

5

，∴M（1，

3 3

5

）．
设抛物线解析式为y=a（x-1）²+

3 3

5

，点E（0，

3

5

）在抛物线上，
∴

3

5

=a+

3 3

5

，解得a=-

2 3

5

．
∴y=-

2 3

5

（x-1）²+

3 3

5

=-

2 3

5

x²+

4 3

5

x+

3

5

．
综上所述，符合条件的抛物线的解析式为：y=-

3

4

x²+

3

2

x+

3

2

或y=-

2 3

5

x²+

4 3

5

x+

3

5

．

点评：本题是中考压轴题，涉及二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、解直角三角形、菱形等知识点．第（3）问中，有两种情形存在，需要分类讨论，避免漏解．