Question

17．如图，在矩形ABCD中，AD=$\sqrt{2}$AB，AE平分∠BAD，DF⊥AE于F，BF交DE、CD于O、H，下列结论：①∠DEA=∠DEC；②BF=FH；③OE=OD；④BC-CH=2EF；⑤AB=HF，其中正确结论的个数是（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 由AE为直角的平分线，得到∠BAE=∠DAE=45°，可得出三角形ABE和三角形AFD为等腰直角三角形，利用勾股定理得到AE=$\sqrt{2}$AB，由已知AD=$\sqrt{2}$AB，得到AD=AE，即三角形ADE为等腰三角形，求出底角∠AED度数为67.5°，由平角的定义及∠AEB与∠AED度数求出∠DEC为67.5°，等量代换得到∠DEA=∠DEC，选项①正确；过F作FG垂直于AD，利用三线合一得到G为AD中点，利用平行线等分线段定理得到F为BH中点，即BF=FH，选项②正确；由AD=$\sqrt{2}$AF=$\sqrt{2}$AB，得到AF=AB，即三角形ABF为等腰三角形求出底角∠AFB=67.5°，利用对顶角相等得到∠EFH为67.5°，进而求出∠DFO为22.5°，根据一对直角相等，∠DEA=∠DEC=67.5°，确定出∠EDF=∠EDC=22.5°，确定出∠OFD=∠ODF=22.5°，等角对等边得到OD=OF，由∠OFE=∠OEF=67.5°，等角对等边得到OF=OE，等量代换得到OE=OD，选项③正确；同理得到M为BC中点，即FM为三角形BHC的中位线，得到CH=2FM，三角形EFM为等腰直角三角形，由等腰三角形的性质可知FM=ME，可得出BC-CH=2CM-2FM=2CM-2ME=2EF，选项④正确；判断出△ABF不是等边三角形，从而得到AB≠BF，即AB≠HF，得到⑤错误．

解答 解：∵四边形ABCD为矩形，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=∠AEB=45°，
∵∠AFD=∠ABE=90°，
∴△AFD与△ABE都为等腰直角三角形，即AF=DF，AB=BE，
∴AE=$\sqrt{2}$AB，
又∵AD=$\sqrt{2}$AB，
∴AD=AE，
∴∠AED=∠ADE=67.5°，
∴∠DEC=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠DEA=∠DEC，选项①正确；
过F作GM⊥AD，与AD交于G点，与BC交于M点，
利用三线合一得到G为AD中点，
∴F为BH中点，M为BC中点，
∴BF=FH，选项②正确；
∵AD=$\sqrt{2}$AF，AD=$\sqrt{2}$AB，
∴AF=AB，
∴∠AFB=67.5°，
∴∠OFE=∠OEF=67.5°，
∴OE=OF，
∴∠ODF=∠OFD=22.5°，
∴OF=OD，
∴OD=OE，选项③正确；
∴∠DEF=67.5°-45°=22.5°，∠EDC=90°-67.5°=22.5°，
∴∠EDF=∠DEC，
∵EF⊥DF，EC⊥CD，
∴EF=EC，
∵△EFM为等腰直角三角形，
∴FM=ME，
∴BC-CH=2CM-2FM=2CM-2ME=2EF，选项④正确；
∵AB=AF，∠BAE=45°，
∴△ABF不是等边三角形，
∴AB≠BF，
∴即AB≠HF，故⑤错误；
综上所述，结论正确的是①②③④．
则正确的序号有5个．
故选C．

点评 此题考查了四边形综合题，涉及的知识有：矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，中位线定理，平行线等分线段定理，角平分线定理，利用了等量代换的思想，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．