Question

14．如图，在平面直角坐标系内，抛物线y=2x²+bx+c的顶点为A（2，1），同时与直线x=3交于点B，连接OA并延长与直线x=3交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求出△ABC的面积；
（3）若点P为抛物线对称轴上的任意一点，则是否存在以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可知a=2，利用抛物线的顶点式可知y=2（x-2）²+1；
（2）设直线OC的解析式为y=kx，将点A的坐标代入可求得k的值，从而得到OC的解析式，将x=3代入可得到C的坐标，将x=3代入抛物线的解析式可求得B的坐标，最后依据S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•（x_C-x_A）求解即可；
（3）先依据两点间的距离公式求得AB的长，然后分为△APB∽△BCA、△P′AB∽△ABC两种情况求得AP的长，从而可得到点P的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线的解析式为y=2x²+bx+c，
∴a=2．
∵抛物线的顶点坐标为（2，1），
∴抛物线的解析式为y=2（x-2）²+1，即y=2x²-8x+9.\

（2）设直线OC的解析式为y=kx．
将点A的坐标代入得：2k=1，解得k=$\frac{1}{2}$，
∴直线OA的解析式为y=$\frac{1}{2}$x．
将x=3代入OA的解析式得：y=$\frac{3}{2}$
∴C（3，$\frac{3}{2}$）．
将x=3代入抛物线的解析式得：y=3，
∴B（3，3）．
∴BC=1.5．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•（x_C-x_A）=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×1=$\frac{3}{4}$．

（3）依据两点间的距离公式可知：AB=$\sqrt{5}$．
如图所示：当△APB∽△BCA时．

∵△APB∽△BCA，
∴$\frac{AP}{BC}=\frac{AB}{BA}$=1，则AP=BC=1.5．
∴点P的纵坐标为1+1.5=2.5．
∴P（2，2.5）．
当△P′AB∽△ABC时，$\frac{AP′}{AB}=\frac{AB}{BC}$，即$\frac{AP′}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{1.5}$，解得：AP′=3$\frac{1}{3}$．
∴P（2，4$\frac{1}{3}$）．
综上所述，点P的坐标为P（2，2.5）或P（2，4$\frac{1}{3}$）．

点评 本题主要考查的相似三角形的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的顶点式，待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的性质，分类讨论是解题的关键．