练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    13．模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图 ①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？
    大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题

    如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．
    请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．
    （1）理由：如图③，在直线L上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，
    ∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上
    ∴CB=CB'，C′B=C'B'
    ∴AC+CB=AC+CB′=AB'．
    在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小
    归纳小结：
    本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．
    本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．
    （2）模型应用
    如图 ④，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点．
    求EF+FB的最小值
    分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC对称，连结ED交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段DE的长度，EF+FB的最小值是$\sqrt{5}$．


    如图⑤，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是$\widehat{AD}$的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值是2$\sqrt{2}$；
    如图⑥，一次函数y=-2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，点O为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求：PC+PD的最小值，并写出取得最小值时P点坐标．

    分析 （1）利用对称性确定出点C的位置，用三角形的三边关系加以证明；
    （2）①由正方形的对称性确定出F的位置，②利用圆的对称性确定出F点的位置，③根据平面坐标系的对称性确定出点P的位置，利用勾股定理求解即可；

    解答 解：（1）理由：如图③，在直线L上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，
    ∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上
    ∴CB=CB'，C′B=C'B'
    ∴AC+CB=AC+CB′=AB'．
    在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小
    故答案为：CB'，C'B'，AB'；
    （2）模型应用
    ①解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC对称，连结ED交AC于F
    则EF+FB的最小值就是线段DE的长度，EF+FB的最小值是 $\sqrt{5}$．
    在正方形ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=90°
    ∵点E是AB中点，
    ∴AE=1，
    根据勾股定理得，DE=$\sqrt{5}$，
    即：EF+FB的最小值$\sqrt{5}$，
    故答案为：DE，$\sqrt{5}$；
    ②如图⑤，

    由圆的对称性可知，A与A'关于直径CD对称，连结A'B交CD于F，则AE+EB的最小值就是线A'BE的长度，
    ∴∠AOD=∠A'OD=60°
    ∵点B是$\widehat{AD}$的中点，
    ∴∠AOB=∠BOD=$\frac{1}{2}$∠AOD=30°，
    ∴∠A'OB=90°
    ∵⊙O的直径为4，
    ∴OA=OA'=OB=2，
    在Rt△A'OB中，A'B=2$\sqrt{2}$，
    ∴BP+AP的最小值是2$\sqrt{2}$．
    故答案为2$\sqrt{2}$，
    ③如图⑥，

    由平面坐标系中的对称性可知，C与C'关于直径y轴对称，连结C'D交y轴于P，则PC+PD的最小值就是线C'D的长度，
    ∵一次函数y=-2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，
    ∴A（2，0），B（0，4），
    ∴C（1，0），D（1，2），
    ∵C与C'关于直径y轴对称，
    ∴C'（-1，0），
    ∴C'D=$\sqrt{（1+1）^{2}+4}$=2$\sqrt{2}$，
    ∴PC+PD的最小值为2$\sqrt{2}$，
    ∵C'（-1，0），D（1，2），
    ∴直线C'D的解析式为y=x+1，
    ∴P（0，1）．

    点评 此题是一次函数函数综合题，主要考查了正方形的对称性，圆的对称性，函数解析式的确定，勾股定理，解本题的关键是找到距离之和最小的交点．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    3．若实数m、n满足$\sqrt{m+3}$+|n-2|=0，则过点（m，n）的反比例函数解析式为y=-$\frac{6}{x}$．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    4．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，若将矩形折叠，使B点与D点重合，则AE的长为3．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    1．如图，A、B、C为一个平行四边形的三个顶点，且A、B、C三点的坐标分别为（5，6）、（3，4）、（6，3）．
    （1）请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标；
    （2）求出△ABC的周长．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    8．△ABC与△CDE是共顶点的等边三角形．直线BE与直线AD交于点M，点D、E不在△ABC的边上．
    （1）当点E在△ABC外部时（如图1），写出AD与BE的数量关系．
    （2）若CD＜BC，将△CDE绕着点C逆时针旋转，使得点E由△ABC的外部运动到△ABC的内部（如图2）．在这个运动过程中，∠AMB的大小是否发生变化？若不变，在图2的情况下求出∠AMB的度数，若变化，说明理由．
    （3）如图3，当B、C、D三点在同一条直线上，且BC=CD时，写出BM，ME与BC之间的数量关系．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    18．计算：-32-（-5）3×（$\frac{2}{5}$）2-15÷|-3|

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    5．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=$\sqrt{2}$，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB1C1的位置，连接BC1并延长交AB1于点D，则BD的长为$\sqrt{3}$．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    2．已知一次函数y=kx+b（k≠0），当-1≤x≤3时，2≤y≤4，求一次函数解析式．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    3．下列说法中正确的是（　　）
    A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图象”是随机事件
    B．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次
    C．“概率为0.0001的事件”是不可能事件
    D．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案