Question

已知，如图：Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=10，D为△ABC外一点，连接AD，BD，过D作DH⊥AB，垂足为H，交AC于E．
（1）若△ABD是等边三角形，求DE的长为________；
（2）若BD=AB，且tan∠HDB=，求DE的长为________．
（根据2007年重庆中考题改编）

Answer 1

解：（1）∵△ABD是等边三角形，
∴DH垂直平分AB且∠ADH=30°，
∴EH是△ABC的中位线，
∵AB=8，BC=10，
∴DH=4，EH=5，
∴DE=4-5；

（2）∵BD=AB，tan∠HDB=，AB=8，DH⊥AB，
∴在Rt△BDH中，DH=，BH=，
∵AB=8，
∴AH=，
∵DH⊥AB，
∴△AHE∽△ABC，
∴AH：AB=EH：BC，
即：8=EH：10，
∴EH=4，
∴DE=-4=．
分析：（1）利用等边三角形的性质及中位线就可求得DE的长；
（2）DH⊥AB，可证△AHE∽△ABC，利用相似比可计算EH的长，则DE的长可求解．
点评：本题主要考查了等边三角形的性质及相似三角形的判定及性质．