Question

【题目】如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD、CD．设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数解析式及自变量m的取值范围，并求出S的最大值；

（3）已知M为抛物线对称轴上一动点，若△MBC是以BC为直角边的直角三角形，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3 （2）； （3）（1，﹣2），（1，4）

【解析】

（1）抛物线解析式为y＝a（x＋1）（x3）＝a（x22x3），将点C坐标代入即可求解；

（2）先求出直线BC的解析式，设D（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），得到DE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，再利用，即可求解；

（3）分MC是斜边、MB是斜边两种情况，分别求解即可．

解：（1）抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x22x3），

将点C坐标代入,得

-3a＝3，解得：a＝-1，

抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，

∵直线BC过点B（3，0），C（0，3），

∴，解得，

∴y＝﹣x+3，

设D（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），

∴DE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，

∴，

∵，

∴当时，S有最大值，最大值；

（3）抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x=1

设点M（1，m），

则MB2＝m2+4，MC2＝1+（m﹣3）2，BC2＝18；

①当MC是斜边时，

1+（m﹣3）2＝m2+4+18；

解得：m＝﹣2；

②当MB是斜边时，

同理可得：m＝4，

故点M的坐标为：（1，﹣2），（1，4）．