【题目】已知如图1,在以O为原点的平面直角坐标系中,抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,﹣1),连接AC,AO=2CO,直线l过点G(0,t)且平行于x轴,t<﹣1,
(1)求抛物线对应的二次函数的解析式;
(2)若D为抛物线y= x2+bx+c上一动点,是否存在直线l使得点D到直线l的距离与OD的长恒相等?若存在,求出此时t的值;
(3)如图2,若E、F为上述抛物线上的两个动点,且EF=8,线段EF的中点为M,求点M纵坐标的最小值.
【答案】
(1)
解:∵c(0,﹣1),
∴y= x2+bx﹣1,
又∵AO=2OC,
∴点A坐标为(﹣2,0),
代入得:1﹣2b﹣1=0,
解得:b=0,
∴解析式为:y= x2﹣1
(2)
解:假设存在直线l使得点D到直线l的距离与OD的长恒相等,
设D(a, a2﹣1),
则OD= =
=
a2+1,
点D到直线l的距离: a2﹣1+|t|,
∴ a2﹣1+|t|=
a2+1,
解得:|t|=2,
∵t<﹣1,
∴t=﹣2,
故当t=﹣2时,直线l使得点D到直线l的距离与OD的长恒相等
(3)
解:作EN⊥直线l于点N,FH⊥直线l于点H,
设E(x1,y1),F(x2,y2),
则EN=y1+2,FH=y2+2,
∵M为EF中点,
∴M纵坐标为: =
=
﹣2,
由(2)得:EN=OE,FH=OF,
∴ =
﹣2=
﹣2,
要使M纵坐标最小,即 ﹣2最小,
当EF过点O时,OE+OF最小,最小值为8,
∴M纵坐标最小值为 ﹣2=
﹣2=2.
【解析】(1)根据点C坐标,可得c=﹣1,然后根据AO=2CO,可得出点A坐标,将点A坐标代入求出b值,即可得出函数解析式;(2)假设存在直线l使得点D到直线l的距离与OD的长恒相等,设出点D坐标,分别求出OD和点D到直线l的距离,然后列出等式求出t的值;(3)作EN⊥直线l于点G,FH⊥直线l于点H,设出点E、F坐标,表示出点M的纵坐标,根据(2)中得出的结果,代入结果求出M纵坐标的最小值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识,掌握二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点,以及对二次函数的性质的理解,了解增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.
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【题目】在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(﹣2,1),B(﹣4,5),C(﹣5,2).
(1)①画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
②画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2;
(2)求△A2B2C2的面积.
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【题目】如图,点是等边
内一点,
.将
绕点
按顺时针方向旋转
得
,连接
.
(1)求证: 是等边三角形;
(2)当时,试判断
的形状,并说明理由;
(3)探究:当为多少度时,
是等腰三角形?
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【题目】为鼓励居民节约用电,我市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价,即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费,第一档为用电量在180千瓦时(含180千瓦时)以内的部分,执行基本价格;第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时(含450千瓦时)的部分,实行提高电价;第三档为用电量超出450千瓦时的部分,执行市场调节价格. 我市一位同学家今年2月份用电330千瓦时,电费为213元,3月份用电240千瓦时,电费为150元.已知我市的一位居民今年4、5月份的家庭用电量分别为160和 410千瓦时,请你依据该同学家的缴费情况,计算这位居民4、5月份的电费分别为多少元?
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【题目】如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,对角线AC平分角∠BAD,点P是△ABC内一点,连接PA、PB、PC,若PA=6,PB=8,PC=10,则菱形ABCD的面积等于_____.
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【题目】我市在城市建设中,要折除旧烟囱AB(如图所示),在烟囱正西方向的楼CD的顶端C,测得烟囱的顶端A的仰角为45°,底端B的俯角为30°,已量得DB=21m.
(1)在原图上画出点C望点A的仰角和点C望点B的俯角,并分别标出仰角和俯角的大小;
(2)拆除时若让烟囱向正东倒下,试问:距离烟囱正东35m远的一棵大树是否被歪倒的烟囱砸着?请说明理由.(≈1.732)
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【题目】当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时,我们称此三角形为“梦想三角形”.如果一个“梦想三角形”有一个角为108°,那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为_____.
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【题目】已知关于x的方程2x2﹣(4k+2)x+2k2+1=0.
(1)当k取何值时,方程有两个不相等的实数根?
(2)当k取何值时,方程有两个相等的实数根?
(3)当k取何值时,方程没有实数根?
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