Question

【题目】定义：对于平面直角坐标系中的线段和点，在中，当边上的高为2时，称为的“等高点”，称此时为的“等高距离”．

（1）若点的坐标为(1，2)，点的坐标为(4，2)，则在点 (1，0)，(，4)， (0，3)中，的“等高点”是点___；

（2）若(0，0)，＝2，当的“等高点”在轴正半轴上且“等高距离”最小时，点的坐标是__．

Answer 1

【答案】A或B 或

【解析】

（1）根据“等高点”的概念解答即可；

（2）先证明“等高距离”最小时△MPQ为等腰三角形，再利用勾股定理求出点Q坐标即可．

（1）①∵P（1，2），Q（4，2），

∴在点A（1，0），B（，4）到PQ的距离为2．

∴PQ的“等高点”是A或B，

故答案为：A或B；

（2）如图2，过PQ的“等高点”M作MN⊥PQ于点N，

∴PQ=2，MN=2．

设PN=x，则NQ=2-x，

在Rt△MNP和Rt△MNQ中，由勾股定理得：

MP2=22+x2=4+x2，MQ2=22+（2-x）2=x2-4x+8，

∴MP2+MQ2=2x2-4x+12=2（x-1）2+10，

∵MP2+MQ2≤（MP+MQ）2，

∴当MP2+MQ2最小时MP+MQ也最小，此时x=1，

即PN=NQ，

∴△MPQ为等腰三角形，

∴MP=MQ=，

如图3，设Q坐标为（x，y），过点Q作QE⊥y轴于点E，

则在Rt△MNP和Rt△MNQ中由勾股定理得：

QE2=QP2-OE2=22-y2=4-y2，QE2=QM2-ME2=，

∴，

解得y=，

QE2=4-y2=4-（）2=，

当点Q在第一象限时x，当点Q在第二象限时x，

∴或，

故答案为：或．