Question

在同一平面直角坐标系中有6个点：A（1，1），B（-3，-1），C（-3，1），D（-2，-2），E（-2，-3），F（0，-4）．
（1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的位置关系；
（2）画出直线EF并把直线EF沿y轴向上平移，使它经过点D，设此时的直线为l₁．请判断直线l₁与⊙P的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据A、B、C的坐标可得到△ABC为直角三角形，则AB为△ABC外接圆⊙P的直径，AB的中点P的坐标为（-1，0），利用勾股定理计算出AB，得到⊙P的半径=

1

2

AB=

5

，再利用勾股定理计算出PD=

5

，然后根据点与圆的位置关系进行判断；
（2）由于D（-2，-2），E（-2，-3），F（0，-4），则直线EF沿y轴向上平移，使它经过点D，得到直线EF向上平移1个单位得到l₁，则点F平移到Q点（0，-3），再利用勾股定理可计算出PD²=5，DF²=2²+1²=5，PQ²=1²+3²=10，然后根据勾股定理的逆定理得到∠PDQ=90°，再根据圆的切线的判定定理即可得到直线l₁与⊙P相切．

解答：解：（1）∵A（1，1），B（-3，-1），C（-3，1），
∴BC∥y轴，AC∥x轴，
∴BC⊥AC，
∴△ABC为直角三角形，
∴AB为△ABC外接圆⊙P的直径，AB的中点P的坐标为（-1，0），
⊙P的半径=

1

2

AB=

1

2

AC2+BC2

=

1

2

42+22

=

5

，
∵PD=

12+22

=

5

，
∴点D在⊙P上；
（2）直线l₁与⊙P相切．理由如下：
∵D（-2，-2），E（-2，-3），F（0，-4），
∴直线EF沿y轴向上平移，使它经过点D，即直线EF向上平移1个单位得到l₁，
∴点F平移到Q点（0，-3），如图，
连接PQ，PD²=5，DF²=2²+1²=5，PQ²=1²+3²=10，
∴PD²+DF²=PQ²，
∴∠PDQ=90°，
∴直线l₁与⊙P相切．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握点与圆的位置关系和直线与圆相切的判定方法；记住直角三角形外接圆的圆心为斜边的中点；会根据勾股定理计算平面直角坐标系中两点的距离．