Question

10．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，A（0，6），AB=4$\sqrt{3}$，且∠OBA=60°，将△OAB沿直线AB翻折，得到△CAB，点O与点C对应．
（1）填空：∠BAC=30度；
（2）过点B作x轴垂线，交AC于点E，依据题意补全图形，并求出BE的长；
（3）在（2）的条件下，动点F从点O出发，以2个单位长度/秒的速度沿折线O--A--B向终点B运动，点F的运动时间为t秒，在点F的运动过程中，当t为何值时，△BEF是以BE为腰的等腰三角形？（答案可以保留根号）

Answer 1

分析 （1）根据翻转变换的性质解答；
（2）先根据题意补全图形，根据直角三角形的性质求出BE；
（3）分B是等腰三角形△BEF的顶角顶点、E为等腰三角形△BEF的顶角顶点两种情况，根据等腰三角形的性质、翻转变换的性质计算即可．

解答 解：（1）∵∠OBA=60°，
∴∠OAB=30°，
由翻转变换的性质可知，∠BAC=∠OAB=30°，
故答案为：30；
（2）补全图形如图1，
∵BE⊥x轴，
∴∠OBE=90°
∵∠OBA=60°，
∴∠EBA=30°，
∴∠EBA=∠BAC=30°，
∴AE=BE，
∵∠ABC=∠OBA=60°，
∴∠EBC=∠ABC-∠EBA=30°，
又∵∠C=∠FOB=90°，
∴CE=$\frac{1}{2}$BE，
又∵AC=AE+EC=6，
∴AC=BE+$\frac{1}{2}$BE=6，
∴BE=4；
（3）①当B是等腰三角形△BEF的顶角顶点时，如图2，
当BF=BE时，OF=CE=2，
∴t=2÷2=1，
当BF=BE=4时，如图3，
∵AF=AB-BF=4$\sqrt{3}$-4，
∴t=$\frac{OA+OF}{2}$=$\frac{6+4\sqrt{3}-4}{2}$=1+2$\sqrt{3}$，
②当E为等腰三角形△BEF的顶角顶点时，如图4，
∵∠ABE=30°，∠BAC=30°，
则当F运动到A点时，即AE=BE，
∴△BEF为等腰三角形，即t=6÷2=3，
当EF=BE时，由（2）得：AE=BE，
∴EF=AE=4，又∵∠OAE=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴A F=AE=4
∴O F=AO-AF=2，
∴F与图2中F重合，此时 t=1，
所以在点F的运动过程中，当t=1（秒）或t=3（秒）或t=（1+2$\sqrt{3}$）（秒）时，△BEF是以BE为腰的等腰三角形．

点评 本题考查的是等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握翻转变换的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．