Question

17．如图，⊙O过正方形ABCD的顶点A、B，且与CD相切．若正方形ABCD的边长为2，则⊙O的半径为$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 作OE⊥CD于E，交AB于F，连结OA，如图，设⊙O的半径为r，由正方形的性质得CD∥AB，则EF⊥AB，易得四边形ADEF为矩形，得到EF=AD=2，再根据垂径定理得到AF=BF=$\frac{1}{2}$AB=1，接着根据切线的性质得到OE=r，所以OF=2-r，然后在Rt△AOF中利用勾股定理得到（2-r）²+1²=r²，再解方程即可．

解答 解：作OE⊥CD于E，交AB于F，连结OA，如图，设⊙O的半径为r，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CD∥AB，
∴EF⊥AB，
∴四边形ADEF为矩形，
∴EF=AD=2，
∵EF⊥AB，
∴AF=BF=$\frac{1}{2}$AB=1，
∵⊙O与CD相切，
∴OE=r，
∴OF=2-r，
在Rt△AOF中，（2-r）²+1²=r²，解得r=$\frac{5}{4}$，
即⊙O的半径为$\frac{5}{4}$．
故答案为$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了正方形的性质．