Question

14．AC、BD为菱形ABCD的对角线，∠ABC=∠ACD，点E在直线BC上，若AE=BD，则∠EAC是30或90度．

Answer 1

分析 根据菱形的性质得到AB∥CD，推出△ABC是等边三角形，得到∠ABC=∠ADC=∠BAC=60°，当E在BC的延长线上时，过D作DF∥AE₁，则四边形AE₁FD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AE₁=DF，根据等腰三角形的性质得到∠CAE₁=30°，当E在CB的延长线上时，根据平行线的性质得到AE₂⊥AC，于是得到结论．

解答 解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD=∠ACB，
∵∠ABC=∠ACD，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ADC=∠BAC=60°，
当E在BC的延长线上时，
过D作DF∥AE₁，
则四边形AE₁FD是平行四边形，
∴AE₁=DF，
∵DF∥AE₁，
∴∠F=∠AE₁B，
∵BD=AE₁，
∴BD=DF，
∴∠F=∠DBF=30°，
∴∠AE₁C=30°，
∵∠ACF=120°，
∴∠CAE₁=30°，
当E在CB的延长线上时，
∵AE₂=AE₁，
∴∠E₂=∠AE₁C=30°，
∴∠E₂=∠ABC，
∴AE₂∥DB，
∵AC⊥BD，
∴AE₂⊥AC，
∴∠CAE₂=90°，
故答案为：30或90．

点评 本题考查了菱形的性质等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．