Question

【题目】若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形，例如△ABC中，三边分别为a、b、c，若满足b2＝ac，则称△ABC为比例三角形，其中b为比例中项．

（1）已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足条件的AC的长；

（2）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC．

①请直接写出图中的比例三角形；

②作AH⊥BD，当∠ADC＝90°时，求的值；

（3）三边长分别为a、b、c的三角形是比例三角形，且b为比例中项，已知抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点B，顶点为A，O为坐标原点，以OB为直径的⊙M经过点A，记△OAB的面积为S1，⊙M的面积为S2，试问S1：S2的值是否为定值？若是请求出定值，若不是请求出S1：S2的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）AC＝；

（2）①△ADC是比例三角形；②；

（3）＝.

【解析】

（1）分三种情况讨论，由比例三角形的定义可求解；

（2）①通过证明△ABC∽△DCA，可得，可得AD2＝ACCD，可得△ADC是比例三角形；

②由勾股定理可得AB2+AC2＝BC2，AD2+CD2＝AC2，BC2+CD2＝BD2，可得BD＝AC，即可求解；

（3）分别求出S1，S2，由勾股定理可求b的值，即可求解．

解：（1）∵△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，

∴若AB是比例中项，则AB2＝BC×AC，

∴AC＝，

若AC是比例中项，则AC2＝BC×AB，

∴AC＝，

若BC是比例中项，则BC2＝AC×AB，

∴AC＝

（2）①△ADC是比例三角形，

理由如下，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

∵AD∥BC，

∴∠ACB＝∠DAC，∠ADB＝∠DBC，

∴∠ABD＝∠ADB，

∴AB＝AD，

∵∠DAC＝∠ACB，∠BAC＝∠ADC，

∴△ABC∽△DCA，

∴，且AD＝AB，

∴AD2＝ACCD，

∴△ADC是比例三角形；

②∵∠ADC＝90°＝∠BAC，AD∥BC，

∴∠ADC＝∠BCD＝90°，

∵AB2+AC2＝BC2，AD2+CD2＝AC2，BC2+CD2＝BD2，

∴2AC2＝BD2，

∴BD＝AC，

∵AB＝AD，AH⊥BD，

∴BH＝BD＝AC，

∴

（3）∵三边长分别为a、b、c的三角形是比例三角形，且b为比例中项，

∴b2＝ac，a＞0，b＞0，c＞0，

∵已知抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点B，顶点为A，

∴B（0，c），点A（﹣，）

∴点A（﹣，c）

∵S1＝×c×＝，

S2＝π×（c）2＝，

∴＝＝＝＝，

∵以OB为直径的⊙M经过点A，

∴∠OAB＝90°，

∴OA2+OB2＝OC2，

∴（）2+（c）2+（）2+（c﹣c）2＝c2，

∴a2c2＝b2，

∴（b2﹣1）b2＝0，

∴b＝，

∴＝