Question

在四边形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．
（1）在图1中，求证：DE=DF；
（2）在图1中，若点G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明；
（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，点E在AB上，DE⊥AB，且∠DCE=60°，若AE=3，求BE的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）根据全等三角形的判定与性质，可得∠C=∠DBA，根据全等三角形的判定与性质，可得DE与DF的关系；
（2）根据全等三角形的性质，可得DF=DE，∠CDE=∠BDF，再根据全等三角形的判定与性质，可得EG=FG=GB+BF；
（3）根据全等三角形的性质，可得AM=AB，CM=BC，根据直角三角形的性质，可得AD的长，根据线段的和差，可得答案．

解答：（1）解：如图1，连接AD，
在△ACD和△ABD中，

AC=AB CD=BD AD=AD

，
∴△ACD≌△ABD（SSS）
∴∠C=∠DBA．
又∵∠CAB=60°，∠CDB=120°，
∴∠C=∠DBA=∠DBF=90°．
在△DCE和△DBF中，

DC=DB ∠DCE=∠DBF CE=BF

，
∴△ECD≌△FBD（SAS）
∴DE=DF．
（2）由（1）知△ECD≌△FBD，
∴DF=DE，∠CDE=∠BDF．
又∵∠CDE+∠GDB=∠CDB-∠EDG=120°-60°=60°
∴∠EDG=∠FDG．
在△EGD和△FGD中，

ED=FD ∠EDG=∠FDG DG=DG

，
∴∴△EGD≌△FGD（SAS）
∴EG=FG=GB+BF，
∴EG=CE+BG；
（3）如图2：

过C作CM⊥AD交AD的延长线于M，
在△AMC和△ABC中，

∠AMC=∠ABC ∠DAC=∠BAC AC=AC

，
∴△AMC≌△ABC（AAS）
∴AM=AB，CM=BC，
由以上可知DM+BE=DE．
∵AE=3，∠AED=90°∠DAB=60°，
∴AD=6．
由勾股定理得：DE=3

3

∴DM=AB-6=BE+3-6=BE-3，
∴BE-3+BE=3

3

即BE=

3+3 3

2

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质．