Question

13．如图，AD∥BC，E是CD上一点．且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=AD+BC（3种方法）．

Answer 1

分析 （1）在AB上截取AF=AD，连接EF，先由SAS证明△AEF≌△AED，得出∠AFE=∠D，再证出∠BFE=∠C，由AAS证明△BEF≌△BEC，得出BF=BC，即可得出结论；
（2）延长AE、BC交于点M，证明△ADE≌△MCE，则AD=CM，易证BA=BM，则AD+BC=AB．
（3）取AB中点F，连接EF，根据平行线性质求出∠DAB+∠ABC=180°，根据角平分线性质求出∠EAB+∠ABE=90°根据三角形的内角和定理求出∠AEB=90°，推出AF=BF=EF，根据CF=DF推出即可推出EF∥AD∥BC，得出EF是梯形的中位线，推出EF=$\frac{1}{2}$（AD+BC），即可得出答案．

解答 证明：法一：在AB上截取AF=AD，连接EF，如图1所示：
在△AEF和△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AD}\\{∠1=∠2}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AED（SAS）
∴∠AFE=∠D，
∵AD∥BC，
∴∠D+∠C=180°，
∵∠AFE+∠BFE=180°，
∴∠BFE=∠C，
在△BEF和△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠4}\\{∠BFE=∠C}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△BEC（AAS），
∴BF=BC，
∴AD+BC=AF+BF=AB；
法二：延长AE、BC交于点M，如图2所示，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠CME，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAM，
∴∠BAM=∠CME，
∴AB=BM，
∵∠3=∠4，
∴AE=EM，
在△ADE和△MCE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠ECM}\\{AE=EM}\\{∠AED=∠CEM}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△MCE，
∴AD=CM，
∵AB=BM，BM=BC+CM，
∴AD+BC=AB．
法三：
证明：如图3所示：取AB中点F，连接EF 
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，
∴∠2=$\frac{1}{2}$∠DAB，∠3=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠AEB=90°，
∵F为AB中点，
∴AF=EF=BF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠2=∠AEF，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠AEF，
∴AD∥EF，
∵AD∥BC，
∴AD∥EF∥BC，
∵AF=BF，
∴DE=CE；
∴EF=$\frac{1}{2}$（AD+BC），
∵EF=DF=CF=$\frac{1}{2}$AB，
∴AB=AD+BC．

点评 本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时正确作辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．