Question

【题目】如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q．

（1）求A，C两点的坐标．

（2）请用含a的代数式表示线段PQ的长，并求出a为何值时PQ取得最大值．

（3）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣4，0），C（0，4）；（2）a＝﹣2时，PQ有最大值；（3）存在，理由见解析；Q（﹣1，3）或（）

【解析】

（1）将点B的坐标（3，0）代入抛物线解析式可得出c＝4，解方程，得x1＝3，x2＝﹣4，则A（﹣4，0）；

（2）求出直线AC的解析式y＝﹣x+4，设P（a，），则点Q（a，a+4），则PQ可用a表示，由二次函数的性质可求出PQ的最大值；

（3）分BC＝BQ、BC＝CQ、CQ＝BQ三种情况，分别列得出方程求解即可．

（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线解析式得，

，

解得：c＝4，

令y＝0，则，

解得x1＝3，x2＝﹣4，

∴A（﹣4，0），C（0，4）；

（2）∵A（﹣4，0），C（0，4），

设直线AC的解析式为y＝kx+b，

∴，

∴，

∴直线AC的解析式y＝x+4，

点P的横坐标为a，P（a，），则点Q（a，a+4），

∴PQ＝＝，

∵，

∴a＝﹣2时，PQ有最大值；

（3）存在，理由：

点A、B、C的坐标分别为（﹣4，0）、（3，0）、（0，4），

则BC＝5，AB＝7，AC＝4，∠OAC＝∠OCA＝45°，

将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：，

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，

设BC的中点为H，由中点坐标公式可得H（），

∴过BC的中点H且与直线BC垂直直线的表达式为：y＝，

①当BC＝BQ时，如图1，

∴BC＝BQ＝5，

设：QM＝AM＝n，则BM＝7﹣n，

由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，

解得：n＝3或4（舍去4），

故点Q1（﹣1，3）；

②当BC＝CQ时，如图1，

∴CQ＝5，

则AQ＝AC﹣CQ＝4，

∴，

∴，

③当CQ＝BQ时，

联立直线AC解析式y＝x+4和y＝，

解得x＝﹣（不合题意，舍去），

综合以上可得点Q的坐标为：Q（﹣1，3）或（）