Question

17．如图1，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC∥弦AD，连接BD交AC于E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）如图2，连AC交BD于E，若AE=CE，求tan∠ACB的值．

Answer 1

分析 （1）欲证明CD是⊙O的切线，只要证明∠ODC=90°，只要证明△OCD≌△OCB即可．
（2）如图2中，连接OC交BD于点M，连接OE，设EM=a，BM=2a，利用△EOM∽△EBO，得EO²=EM•EB，求出EO、EB即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，连接BD、OD，BD与OC交于点E．

∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BD，
∵AD∥OC，
∴OC⊥BD，ED=BE，
∵OD=OB，
∴∠DOC=∠BOC，
∵BC是⊙O切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
在△OCD和△OCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OB}\\{∠DOC=∠BOC}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△OCB，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O切线．
（2）解：如图2中，连接OC交BD于点M，连接OE，

∵AO=OB，AE=EC，
∴OE∥BC，OE=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\frac{OE}{BC}$=$\frac{EM}{BM}$=$\frac{1}{2}$，设EM=a，BM=2a，∠AOE=∠ABC=90°，
∵∠OEM=∠OEB，∠OME=∠EOB=90°，
∴△EOM∽△EBO，
∴EO²=EM•EB=a•3a
∴EO=$\sqrt{3}$a，
同理BO²=BM•BE=6a²，
∴BO=AO=$\sqrt{6}$a，
∵∠AEO=∠ACB，
∴tan∠ACB=tan∠AEO=$\frac{AO}{OE}$=$\frac{\sqrt{6}a}{\sqrt{3}a}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查切线的性质和判定、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．