Question

16．如图，等边△OAB与等边△BCD的边OB，BD在x轴正半轴上，点A和点C在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，连接OC交AB于点E，则$\frac{CE}{OE}$=$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 根据等边三角形的想最大的∠AOB=∠CBD=60°，根据相似三角形的性质得到$\frac{CE}{OE}$=$\frac{BC}{OB}$，过A作AF⊥OB于F，过C作CG⊥BD于G，设△AOB的边长为2a，△CBD的周长为2b，于是得到A（a，$\sqrt{3}$a），B（2a+b，$\sqrt{3}$b），由点A和点C在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，列方程得到$\frac{b}{a}$=$\sqrt{2}$-1，即可得到结论．

解答 解：∵△AOB与△BCD是等边三角形，
∴∠AOB=∠CBD=60°，
∴OA∥BC，
∴△AEO∽△BEC，
∴$\frac{CE}{OE}$=$\frac{BC}{OB}$，
过A作AF⊥OB于F，过C作CG⊥BD于G，
设△AOB的边长为2a，△CBD的周长为2b，
则OF=2，AF=$\sqrt{3}$a，BG=b，CG=$\sqrt{3}$b，
∴A（a，$\sqrt{3}$a），B（2a+b，$\sqrt{3}$b），
∵点A和点C在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，
∴$\sqrt{3}$a²=（2a+b）（$\sqrt{3}$b），
解得：a=（1+$\sqrt{2}$）b，（负值舍去），
∴$\frac{b}{a}$=$\sqrt{2}$-1，
∴$\frac{CE}{OE}$=$\frac{BC}{OB}$=$\sqrt{2}$-1，
故答案为：$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．