Question

【题目】定义{a，b，c}为函数y=ax2+bx+c的“特征数”．
（1）“特征数”为{﹣1，2，3}的函数解析式为 ， 将“特征数”为{0，1，1}的函数向下平移两个单位以后得到的函数解析式为；
（2）我们把横、纵坐标均为整数的点称为“整点”，试问：在上述两空填写的函数图象围成的封闭图形（包含边界）内共有多少个整点？请给出详细的运算过程；
（3）定义“特征数”的运算：①{a1 ， b1 ， c1}+{a2 ， b2 ， c2}={a1+a2 ， b1+b2 ， c1+c2}；②λ{a1 ， b1 ， c1}={λa1 ， λb1 ， λc1}（其中λ为任意常数）．试问：“特征数”为{﹣1，2，3}+λ{0，1，﹣1}的函数是否过定点？如果过定点，请计算出该定点坐标；如果不存在，请说明你的理由．

Answer 1

【答案】
（1）y=﹣x2+2x+3；y=x﹣1
（2）

解：

联立直线与二次函数方程

解得： ，

估算﹣2＜xA＜﹣1，2＜xB＜3，

横坐标为﹣1的整点有：

（﹣1，0），（﹣1，﹣1），（﹣1，﹣2）三个；

横坐标为0的整点有：

（0，3），（0，2）（0，1），（0，0），（0，﹣1）五个；

横坐标为1的整点有：

（1，4），（1，3），（1，2），（1，1），（1，0）五个；

横坐标为2的整点有：

（2，3）（2，2）（2，1）三个；

合计，共16个整点

（3）

解：依据定义，{﹣1，2，3}+λ{0，1，﹣1}={﹣1，2+λ，3﹣λ}，

∴该函数解析式为：y=﹣x2+（2+λ）x+3﹣λ=（﹣x2+2x+3）+λ（x﹣1），

令x﹣1=0，即x=1，解得：y=4，

∴该函数始终过定点（1，4）．

【解析】解：（1）①根据定义，“特征数”为{﹣1，2，3}，则可知a=﹣1，b=2，c=3，
则函数解析式为：y=﹣x2+2x+3，
②“特征数”为{0，1，1}，则可知a=0，b=1，c=1，
∴y=x+1，
∴向下平移两个单位后得到的函数解析式为：y=x﹣1，
所以答案是：y=﹣x2+2x+3，y=x﹣1；
【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质，需要了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能得出正确答案．