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    如图所示，在平面直角坐标系xoy中，Rt△AOB的直角边OB，OA分别在x轴上和y轴上，其中OA=2，OB=4，现将Rt△AOB绕着直角顶点O按逆时针方向旋转90°得到△COD，已知一抛物线经过C、D、B三点．
    （1）求这条抛物线的解析式；
    （2）连接DB，P是线段BC上一动点（P不与B、C重合），过点P作PE∥BD交CD于E，则当△DEP面积最大时，求PE的解析式；
    （3）作点D关于此抛物线对称轴的对称点F，连接CF交对称轴于点M，抛物线上一动点R，x轴上一动点Q，则在抛物线上是否存在点R，x轴上是否存在点Q，使得以C、M、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．
    （1）∵△COD≌△AOB
    ∴OC=OA，OD=OB
    ∴OC=2，OD=4
    ∴C（-2，0）D（0，4）B（4，0）
    ∴设此抛物线的解析式y=ax2+bx+4（a≠0）
    将C（-2，O）B（4，0）代入
    4a-2b+4=0
    16a+4b+4=0

    ∴
    a=-
    1
    2
    b=1

    ∴抛物线的解析式为：y=-
    1
    2
    x2+x+4    （4分）

    （2）过E作EH⊥x轴，
    ∵S△DEP=S△DCP-S△ECP
    =
    1
    2
    CP•OD-
    1
    2
    CP•EH
    =
    1
    2
    CP（OD-EH）
    设点P（m，0）
    ∵P在BC之间运动
    ∴CP=m+2
    ∵PE∥BD
    ∴△CEP∽△CDB
    ∴
    EH
    OD
    =
    CP
    BC

    ∴
    EH
    4
    =
    m+2
    6

    ∴EH=
    2m+4
    3

    ∴S△DEP=
    1
    2
    (m+2)(4-
    2m+4
    3
    )
    =-
    1
    3
    (m-1)2+3    （6分）
    ∴当m=1时，S△DEP有最大值为3，此时P（1，0）（7分）
    又∵D（0，4）
    又设BD的解析式y=kx+4（k≠0）
    将B（4，0）代入0=4k+4
    k=-1
    ∴BD：y=-x+4
    ∵PE∥BD
    ∴设PE：y=-x+b，
    将P（1，0）代入
    即0=-1+b，
    解得b=1
    ∴PE的解析式为：y=-x+1；（8分）

    （3）存在
    ∵D（0，4）F（2，4）
    CF：y=x+2
    ∴M（1，3）
    若以CM为边
    在y=-
    1
    2
    x2+x+4    中令y=3
    解得：x1=1+
    		3
    ，x2=1-
    		3

    ∴Q1（-2+
    		3
    ，0）Q2（-2-
    		3
    ，0）（10分）
    令y=-3，-
    1
    2
    x2+x+4=-3
    解得：x1=1+
    		15
    ，x2=1-
    		15

    Q3（4+
    		15
    ，0）Q4（4-
    		15
    ，0）（12分）
    若以CM为对角线，Q5与Q1重合
    ∴共有四个点Q．
    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    抛物线y=mx2+（m-3）x-3（m＞0）与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，OB=OC．
    （1）求这条抛物线的解析式；
    （2）若点P（x1，b）与点Q（x2，b）在（1）中的抛物线上，且x1＜x2，PQ=n．
    ①求4x12-2x2n+6n+3的值；
    ②将抛物线在PQ下方的部分沿PQ翻折，抛物线的其它部分保持不变，得到一个新图象．当这个新图象与x轴恰好只有两个公共点时，b的取值范围是______．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在直角坐标系中，点O为原点，直线y=kx+b与x轴交于点A（3，0），与y轴的正半轴交于点B，tan∠OAB=
    		3
    ．
    （1）求这直线的解析式；
    （2）将△OAB绕点A顺时针旋转60°后，点B落到点C的位置，求以点C为顶点且经过点A的抛物线的解析式；
    （3）设（2）中的抛物线与x轴的另一个交点为点D，与y轴的交点为E．试判断△ODE是否与△OAB相似？如果认为相似，请加以证明；如果认为不相似，也请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    在向汶川地震灾区执行空投任务中，一架飞机在空中沿着水平方向向空投地O处上方直线飞行，飞行员在A点测得O处的俯角为30°，继续向前飞行1千米到达B处测得O处的俯角为60°．飞机继续飞行0.1千米到达E处进行空投，已知空投物资在空中下落过程中的轨迹是抛物线，若要使空投物资刚好落在O处．
    （1）求飞机的飞行高度．
    （2）以抛物线顶点E为坐标原点建立直角坐标系，求抛物线的解析式．（所有答案可以用根号表示）

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知如图，对称轴为直线x=4的抛物线y=ax2+2x与x轴相交于点B、O．
    （1）求抛物线的解析式．
    （2）连接AB，平移AB所在的直线，使其经过原点O，得到直线l．点P是l上一动点，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标．
    （3）当△PAB的周长最小时，在直线AB的上方是否存在一点Q，使以A，B，Q为顶点的三角形与△POB相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．（规定：点Q的对应顶点不为点O）

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）求抛物线的顶点坐标．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表
    x…-1012…
    y…10521…
    （1）求该二次函数的解析式；
    （2）函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是______．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    二次函数y1=ax2-2bx+c和y2=（a+1）•x2-2（b+2）x+c+3在同一坐标系中的图象如图所示，若OB=OA，BC=DC，且点B，C的横坐标分别为1，3，求这两个函数的解析式．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图．已知二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B．
    （1）求此二次函数关系式和点B的坐标；
    （2）在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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