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已知直线y=(m-1)x+3与函数y=x2+m的图象的一个交点的横坐标为2,
(1)求关于x的一元二次方程x2-(m-1)x+m-4=0的解.
(2)若将抛物线C1:y=x2-(m-1)x+m-4绕原点旋转180°,得到图象C2,点P为x轴上的一个动点,过点P作x轴的垂线,分别与图象C1、C2交于M、N两点,当线段MN的长度最小时,求点P的坐标.
分析:(1)将两函数联立,求出m即可得到方程,求解即可;
(2)利用二次函数旋转180°后,系数之间的关系,得出新函数的解析式,在表示出M,N的坐标,即可解决.
解答:(1)解:∵直线y=(m-1)x+3与函数y=x2+m的图象的一个交点的横坐标为2,
∴2(m-1)+3=4+m
解得m=3
将m=3代入原方程化为x2-2x-1=0,
解得x1=1+
2
,x2=1-
2


(2)解:将m=3代入得抛物线:y=x2-2x-1=(x-1)2-2,把抛物线绕顶点旋转180°,
可得新抛物线的解析式的二次项的系数为-1,顶点变为(-1,2),
∴所求的抛物线解析式为:y=-(x+1)2+2=-x2-2x+1,
∴将抛物线y=x2-2x-1绕原点旋转180°得到的图象C2的解析式为:y=-x2-2x+1.
设P(x,0),则M(x,x2-2x-1),N(x,-x2-2x+1),
∴MN=(x2-2x-1)-(-x2-2x+1)=2x2+2,
∴当x=0时,MN的长度最小,此时点P的坐标为(0,0).
点评:此题主要考查了一元二次方程的判别式,以及一次函数与二次函数的综合应用,还有二次函数的旋转等,题目综合性较强.
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