Question

如图，在平面直角坐标中，矩形OABC，OA=4，AB=2，直线与坐标轴交于D，E两点，设M是AB的中点，P是线段DE上的动点．过P作PH⊥BC，垂足为H，当以PM为直径的⊙F与BC相切于点N时，梯形PMBH的面积是________．

Answer 1

-+
分析：可设P（x，y），连接PN、MN、NF，因为点P在y=-x+上，所以P（x，-x+），根据题意可得PN⊥MN，FN⊥BC，F是圆心，又因N是线段HB的中点，HN=NB=，PH=2-（-x+）=x+，BM=1，利用直径对的圆周角是直角可得到∠HPN+∠HNP=∠HNP+∠BNM=90°，所以∠HPN=∠BNM，又因∠PHN=∠B=90°，所以可得到Rt△PNH∽Rt△NMB，所以=，∴=，这样就可得到关于x的方程，解之即可求出x的值，而所求面积的四边形是一个直角梯形，所以S_PMBH===-+．
解答：解：设P（x，y），连接PN、MN、NF，
∵点P在y=-x+上，
∴P（x，-x+），
依题意知：PN⊥MN，FN⊥BC，F是圆心，
∴N是线段HB的中点，HN=NB=，PH=2-（-x+）=x+，BM=1，
∵∠HPN+∠HNP=∠HNP+∠BNM=90°，
∴∠HPN=∠BNM，
又∵∠PHN=∠B=90°，
∴Rt△PNH∽Rt△NMB，
∴=，
∴=，
∴x²-12x+14=0，
解得：x=6+（x＞舍去），x=6-，
S_PMBH===-+．
故答案为：-+．
点评：考查了一次函数综合题，本题属于一道典型的数形结合的题目，需利用一次函数的解析式结合圆的相关知识才可以解决问题．