Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC边上一点．
（1）若D是BC边的中点，如图1，则AD²+BD•CD与BC²的大小关系是______（直接填空，不必证明）
（2）如图2，若D是△ABC中BC边上任意一点，则（1）中的结论还成立吗？请证明你的结论．

Answer 1

解：（1）AD²+BD•CD与BC²的大小关系是AD²+BD•CD=BC²；

（2）过A作AM⊥BC于M，

∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=45°，BM=CM=AM，
设BM=CM=AM=a，
则AD²+BD•CD=AM²+MD²+（BM+MD）•（CM-MD）=AM²+MD²+BM²-MD²=AM²+BM²=2a²，
而BC²=（2a）²=4a²，
∴AD²+BD•CD=BC²．
分析：（1）根据题给条件可知：BD=CD=AD=BC，继而即可得出AD²+BD•CD与BC²的大小关系；
（2）过A作AM⊥BC于M，AB=AC，∠BAC=90°，可知BM=CM=AM，并设其长为a，则AD²+BD•CD=AM²+MD²+（BM+MD）•（CM-MD）=AM²+MD²+BM²-MD²=AM²+BM²=2a²，而BC²=（2a）²=4a²，继而即可得出结论．
点评：本题考查勾股定理的知识，第二问的解题关键是利用勾股定理将AD²化为AM²+MD²，难度一般．