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    如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-
    5
    6
    x2+
    13
    6
    x+c与y轴交于点D，与x轴负半轴交于点B（-1，0），直线y=
    1
    2
    x+b与抛物线交于A、B两点．作△ABD的外接圆⊙M交x轴正半轴于点C，连结CD交AB于点E．
    （1）求b、c的值；
    （2）求：①点A的坐标；②∠AEC的正切值；
    （3）将△BOD绕平面内一点旋转90°，使得该三角形的对应顶点中的两个点落在已知抛物线上（如图2），请直接写出旋转中心的坐标．
    （1）∵一次函数y=
    1
    2
    x+b的图象经过点B（-1，0），
    ∴0=
    1
    2
    ×（-1）+b，
    解得b=
    1
    2
    ；
    ∵抛物线y=-
    5
    6
    x2+
    13
    6
    x+c经过点B（-1，0），
    ∴0=-
    5
    6
    ×（-1）2+
    13
    6
    ×（-1）+c，
    解得c=3；

    （2）①
    1
    2
    x+
    1
    2
    =-
    5
    6
    x2+
    13
    6
    x+3，
    化简得x2-2x-3=0，
    解得：x1=-1，x2=3．
    当x=3时，y=2，
    ∴A（3，2）；
    ②如图1，过点A作AH⊥y轴于H．
    ∵A（3，2），B（-1，0），D（0，3），
    ∴在△ABD中，AB2=（-1-3）2+（0-2）2=20，AD2=（0-3）2+（3-2）2=10，DB2=（-1-0）2+（0-3）2=10，
    ∴AB2=AD2+DB2，AD=DB，
    ∴△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°，
    ∵△ABD的外接圆⊙M交x轴正半轴于点C，
    ∴AB为⊙M的直径，∠ACB=90°，∠ACD=∠BCD=45°，
    又∵∠BDC=∠BAC，
    ∴△DBC∽△AEC，
    ∴∠DBC=∠AEC，
    ∴tan∠AEC=tan∠DBC=
    OD
    OB
    =
    3
    1
    =3；

    （3）分为3种情况，①旋转后OD在抛物线上；②旋转后OB在抛物线上；③旋转后BD在抛物线上．
    1、旋转后OD在抛物线上：
    设为O′D′，则O′D′平行于x轴，抛物线y=-
    5
    6
    x2+
    13
    6
    x+3=-
    5
    6
    （x-
    13
    10
    ）2+
    529
    120
    ，对称轴x=
    13
    10
    ，
    则x1=
    13
    10
    -
    1
    2
    |OD|=
    13
    10
    -
    3
    2
    =-
    1
    5
    ，x2=
    13
    10
    +
    3
    2
    =
    14
    5
    ，
    则两点为（-
    1
    5
    ，
    38
    15
    ）、（
    14
    5
    ，
    38
    15
    ）．
    这时分别：①O′（-
    1
    5
    ，
    38
    15
    ）、D′（
    14
    5
    ，
    38
    15
    ）；②O′（
    14
    5
    ，
    38
    15
    ）、D′（-
    1
    5
    ，
    38
    15
    ），此时O′D′=3．
    设旋转中心P点的坐标为（x，y）．
    ①如果O′（-
    1
    5
    ，
    38
    15
    ）、D′（
    14
    5
    ，
    38
    15
    ），由题意，得
    x+y=
    38
    15
    y-x=
    1
    5
    ，解得
    x=
    7
    6
    y=
    41
    30
    ，
    此时旋转中心P1为（
    7
    6
    ，
    41
    30
    ）；
    ②如果O′（
    14
    5
    ，
    38
    15
    ）、D′（-
    1
    5
    ，
    38
    15
    ），由题意，得
    y-x=
    38
    15
    x+
    1
    5
    =3-
    38
    15
    -x
    ，解得
    x=
    2
    15
    y=
    8
    3
    ，
    此时旋转中心P2为（
    2
    15
    ，
    8
    3
    ）；
    2、旋转后OB在抛物线上：
    由于OB⊥y轴，则O′B′⊥x轴，此时显然不成立；
    3、旋转后BD在抛物线上：
    BD边旋转90°后所得线段B′D′与BD垂直，直线斜率kBD=3，则kB′D′=-
    1
    3
    ．
    设旋转后B′D′所在直线方程为：y=-
    1
    3
    x+m，
    与抛物线：y=-
    5
    6
    x2+
    13
    6
    x+3联立，解方程组，得：
    x=
    15+
    		585-120m
    10
    y=
    -15-
    		585-120m
    +30m
    30
    或
    x=
    15-
    		585-120m
    10
    y=
    -15+
    		585-120m
    +30m
    30
    ，此为两个交点的坐标．
    ∵B′D′=BD=
    		10
    ，
    ∴（
    15-
    		585-120m
    10
    -
    15+
    		585-120m
    10
    ）2+（
    -15+
    		585-120m
    +30m
    30
    -
    -15-
    		585-120m
    +30m
    30
    ）2=10，
    整理，得585-120m=225，
    解得m=3，
    ∴两点坐标：（3，2），（0，3）．
    ①如果B′（3，2），D′（0，3），则D′与D重合，所以此时旋转中心为P3（0，3）；
    ②如果D′（3，2），B′（0，3），则此时旋转中心为P4（1，1）．
    综上可知，旋转中心为（0，3）、（1，1）、（
    7
    6
    ，
    41
    30
    ）、（
    2
    15
    ，
    8
    3
    ）．
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    已知：抛物线y=ax2+bx+4的对称轴为x=-1，且与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中点A的坐标为（-3，0），
    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）若该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积；
    （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形是梯形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    在平面直角坐标系内有两点A（-2，0），B（
    1
    2
    ，0），CB所在直线为y=2x+b，
    （1）求b与C的坐标；
    （2）连接AC，求证：△AOC∽△COB；
    （3）求过A，B，C三点且对称轴平行于y轴的抛物线解析式；
    （4）在抛物线上是否存在一点P（不与C重合），使得S△ABP=S△ABC？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图1、2，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点B（-1，0）、C（3，0），交y轴于点A．
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）如图1，若M（0，1），过点A的直线与x轴交于点D（4，0）．直角梯形EFGH的上底EF与线段CD重合，∠FEH=90°，EF∥HG，EF=EH=1．直角梯形EFGH从点D开始，沿射线DA方向匀速运动，运动的速度为1个长度单位/秒，在运动过程中腰FG与直线AD始终重合，设运动时间为t秒．当t为何值时，以M、O、H、E为顶点的四边形是特殊的平行四边形；
    （3）如图2，抛物线顶点为K，KI⊥x轴于I点，一块三角板直角顶点P在线段KI上滑动，且一直角边过A点，另一直角边与x轴交于Q（m，0），请求出实数m的变化范围，并说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
    （1）求抛物线的解析式及直线AC的解析式；
    （2）P是线段AC上的一个动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
    （3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在直角坐标系内，O为坐标原点，点A的坐标为（1，0），点B在x轴上且在点A的右端，OA=AB，分别过点A、B作x轴的垂线，与二次函数y=x2的图象交于C、D两点，分别过点C、D作y轴的垂线，交y轴于点E、F，直线CD交y轴于点H．
    （1）验证：S矩形OACE：S梯形ECDF=2：9；
    （2）如果点A的坐标改为（t，0）（t＞0），其他条件不变，（1）的结论是否成立？请说明理由．
    （3）如果点A的坐标改为（t，0）（t＞0），二次函数改为y=ax2（a＞0），其他条件不变，记点C、D的横坐标分别为xC、xD，点H的横坐标为yH，试证明：xC•xD=-
    1
    a
    yH    ．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点．
    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
    （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示，四个顶点的坐标分别为O（0，0），A（10，0），B（8，2
    		3
    ），C（0，2
    		3
    ），点P在线段OA上（不与O、A重合），将纸片折叠，使点A落在射线AB上（记为点A’），折痕PQ与射线AB交于点Q，设OP=x，折叠后纸片重叠部分的面积为y．（图②供探索用）
    （1）求∠OAB的度数；
    （2）求y与x的函数关系式，并写出对应的x的取值范围；
    （3）y存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时x的值；若不存在，说明理由．

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    如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x-6）2+2.6．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m．
    （1）求y与x的关系式；（不要求写出自变量x的取值范围）
    （2）球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．

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