Question

某牛奶公司计划在三栋楼之间建一个取奶站，三栋楼在一条直线上，顺次为A楼、B楼、C楼，其中A楼与B楼之间的距离为40米，B楼与C楼之间的距离为60米、已知A楼每天有20人取奶，B楼每天有70人取奶，C楼每天有60人取奶，公司提出两种建站方案：
方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离最小；
方案二：让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B楼所有取奶的人到奶站的距离之和，
（1）若按第一种方案建站，取奶站应建在什么位置？
（2）若按方案二建站，取奶站应建在什么位置？
（3）在（2）的情况下，若A楼每天取奶的人数增加，增加的人数不超过22人，那么取奶站将离B楼越来越远，还是越来越近？请说明理由．

Answer 1

解：（1）设取奶站建在距A楼x米处，所有取奶的人到奶站的距离总和为y米．
①当0≤x≤40时，y=20x+70（40-x）+60（100-x）=-110x+8800
∴当x=40时，y的最小值为4400，
②当40＜x≤100，y=20x+70（x-40）+60（100-x）=30x+3200
此时，y的值大于4400
因此按方案一建奶站，取奶站应建在B处；

（2）设取奶站建在距A楼米处，
①0≤x≤40时，20x+60（100-x）=70（40-x）
解得x=-＜0（舍去）
②当40＜x≤100时，20x+60（100-x）=70（x-40）
解得：x=80
因此按方案二建奶站，取奶站建在距A楼80米处．

（3）设A楼取奶人数增加a人
①当0≤x≤40时，（20+a）x+60（100-x）=70（40-x）
解得x=-（舍去）．
②当40＜x≤100时，（20+a）x+60（100-x）=70（x-40），
解得x=．
∴当a增大时，x增大．
∴当A楼取奶的人数增加时，按照方案二建奶站，取奶站建在B、C两楼之间，且随着人数的增加，离B楼越来越远．
分析：（1）设取奶站建在距A楼x米处，所有取奶的人到奶站的距离总和为y米，求出在各函数在自变量下的最小值，
（2）设取奶站建在距A米处，列出等量关系式，解得x．
（3）设A楼取奶人数增加a人，在各个自变量下，解得x与a的关系．
点评：本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．