分析 （1）连接BE，证出∠ACD=∠BCE，由SAS证明△ACD≌△BCE，得出AD=BE，∠CBE=∠CAD=45°．证出∠ABE=90°．由平行线的性质求出∠FEB=90°，得出∠EFB=∠EBF=45°，证出EF=BE，即可得出结论；
（2）连接BE．由（1）可知，BE=AD，EF=AD，BE⊥AB．得出BE=BG=EF，证出∠BGE=∠BEG=45°，由等腰直角三角形的性质即可得出结论；
（3）连接BE．证出CH=CF．由SAS证明△HCD≌△FCG，得出DH=FG，∠CDH=∠CGF．证出∠HDA=∠FGB，证明四边形BEFG为正方形，得出∠FGB=90°．
因此∠HDG=∠HDA=90°，证出四边形DGFH为平行四边形，即可得出结论．
（4）由正方形的性质容易得出答案．
解答 
（1）证明：连接BE，如图1所示：
∵∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}&{\;}\\{∠ACD=∠BCE}&{\;}\\{CD=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD=BE，∠CBE=∠CAD=45°．
∴∠ABE=90°．
∵EF∥AB，
∴∠FEB+∠ABE=180°，
∴∠FEB=90°，
∴∠EFB=∠EBF=45°，
∴EF=BE，
∴AD=EF．
（2）解：EG=$\sqrt{2}$EF．理由如下：如图2所示，连接BE．
由（1）可知，BE=AD，EF=AD，BE⊥AB．
∵AD=BG，
∴BE=BG=EF，
∴∠BGE=∠BEG=45°，
∴EG=$\sqrt{2}$BG，
∴EG=$\sqrt{2}$EF．
（3）证明：如图3所示，连接BE．
∵FH∥AB，
∴∠CHF=∠A=45°，∠CFH=∠B=45°，
∴∠CHF=∠CFH，
∴CH=CF．
∵△ACD与△BCG对称，点D的对应点为G，
∴CD=CG，∠HCD=∠FCG，
在△HCD和△FCG中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=CG}&{\;}\\{∠HCD=∠FCG}&{\;}\\{CH=CF}&{\;}\end{array}\right.$
∴△HCD≌△FCG（SAS），
∴DH=FG，∠CDH=∠CGF．
又∵∠CDA=∠CGB，
∴∠HDA=∠FGB．
由（1），（2）可知，BG=EF=BE，BG∥EF，∠EBG=90°，
∴四边形BEFG为正方形，
∴∠FGB=90°．
∴∠HDG=∠HDA=90°．
∴HD∥FG，
又∵HF∥DG，
∴四边形DGFH是平行四边形，
∴四边形DGFH为矩形．
（4）解：当AD为何值时，四边形DGFH为正方形（答案不唯一）；
故答案为：当AD为何值时，四边形DGFH为正方形．
点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的判定、矩形的判定、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
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某校为了解“书香校园”活动的开展情况，随机抽取了n名学生，调查他们一周阅读课外书籍的时间（单位：时），并将所得数据绘制成如下的统计图表．| 时间段 | 频数 |
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| 4＜t≤6 | 81 |
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| 8＜t≤10 | 8 |
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