Question

已知二次函数y=ax²-2ax-3a（a＞0）．
（1）求此二次函数图象与x轴交点A、B（A在B的左边）的坐标；
（2）若此二次函数图象与y轴交于点C、且△AOC∽△COB（字母依次对应）．
①求a的值；
②求此时函数图象上关于原点中心对称的两个点的坐标．

Answer 1

分析：（1）已知二次函数的解析式，令函数值为零，所求的方程的解即为该函数与X轴交点的横坐标，就可以写出A、B两点的坐标；
（2）先求出C点的坐标①根据两个三角形相似的条件，列出关于a的一个比例关系，就能求出a的值；②可先根据①写出这个二次函数的解析式，由于所求的两个点关于原点中心对称，因此设其中一点的横坐标为t，另一点的横坐标就是-t，这样根据两点的纵坐标关系，进而求出这两点的坐标．

解答：解：（1）令ax²-2ax-3a=0（1分）
解得x₁=-1，x₂=3（2分）
所以A（-1，0），B（3，0）．（1分）
（2）①易知C（0，-3a），由△AOC∽△COB，（1分）
则

OA

OC

=

OC

OB

，即

1

3a

=

3a

3

，（2分）
解得a=

3

3

（舍负）．（1分）
②此时函数解析式为y=

3

3

x2-

2 3

3

x-

3

，
设函数图象上两点(t，

3

3

t2-

2 3

3

t-

3

)，(-t，

3

3

(-t)2-

2 3

3

(-t)-

3

)（1分）
由两点关于原点中心对称，得：

3

3

t2-

2 3

3

t-

3

=-(

3

3

(-t)2-

2 3

3

(-t)-

3

)（1分）
解得t=±

3

，（1分）
∴这两个点的坐标为(

3

，-2)与(-

3

，2)．（1分）

点评：本题主要考查了二次函数与x轴、y轴交点的求法、相似三角形等知识点．考查了数形结合的数学方法．