Question

（1998•天津）在半径等于5cm的圆内有长为5

3

cm的弦，则此弦所对的圆周角为（　　）

A．120°

B．30°或120°

C．60°

D．60°或120°

Answer 1

分析：根据题意画出相应的图形，连接OA，OB，在优弧AB上任取一点E，连接AE，BE，在劣弧AB上任取一点F，连接AF，BF，过O作OD⊥AB，根据垂径定理得到D为AB的中点，由AB的长得出AD的长，再由OA=OB，OD与AB垂直，根据三线合一得到OD为角平分线，在直角三角形AOD中，利用锐角三角函数定义及AD与OA的长，求出∠AOD的度数，可得出∠AOB的度数，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，可得出∠AEB的度数，再利用圆内接四边形的对角互补可得出∠AFB的度数，综上，得到此弦所对的圆周角的度数．

解答：解：根据题意画出相应的图形为：

连接OA，OB，在优弧AB上任取一点E，连接AE，BE，在劣弧AB上任取一点F，连接AF，BF，
过O作OD⊥AB，则D为AB的中点，
∵AB=5

3

cm，∴AD=BD=

5 3

2

cm，
又OA=OB=5，OD⊥AB，
∴OD平分∠AOB，即∠AOD=∠BOD=

1

2

∠AOB，
∴在直角三角形AOD中，
sin∠AOD=

AD

OA

=

5 3 2

5

=

3

2

，
∴∠AOD=60°，
∴∠AOB=120°，
又圆心角∠AOB与圆周角∠AEB所对的弧都为

AB

，
∴∠AEB=

1

2

∠AOB=60°，
∵四边形AEBF为圆O的内接四边形，
∴∠AFB+∠AEB=180°，
∴∠AFB=180°-∠AEB=120°，
则此弦所对的圆周角为60°或120°．
故选D．

点评：此题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，以及圆内接四边形的性质，是一道综合性较强的题．本题有两解，学生做题时注意不要漏解．