Question

如图，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），点B是点A关于原点的对称点，P是函数图象上的一点，且△ABP是直角三角形．
（1）求点P的坐标；
（2）如果二次函数的图象经过A、B、P三点，求这个二次函数的解析式；
（3）如果第（2）小题中求得的二次函数图象与y轴交于点C，过该函数图象上的点C，点P的直线与x轴交于点D，试比较∠BPD与∠BAP的大小，并说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意，得点B的坐标为（2，0）．
设点P的坐标为（x，y），
由题意可知∠ABP=90°或∠APB=90°．
（i）当∠ABP=90°时，x=2，y=1，
∴点P坐标是（2，1）；
（ii）当∠APB=90°时，PA²+PB²=AB²，
即（x+2）²+y²+（x-2）²+y²=16①．
又由，可得y²=，
代入①解得：（负值不合题意，舍去）．
当时，．
∴点P点坐标是（，）．
综上所述，点P坐标是（2，1）或（，）．

（2）设所求的二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
（i）当点P的坐标为（2，1）时，点A、B、P不可能在同一个二次函数图象上；
（ii）当点P的坐标为（，）时，代入A、B、P三点的坐标，
解得：
∴所求的二次函数解析式为．

（3）∠BPD=∠BAP．
证明如下：
∵点C坐标为（0，），
∴直线PC的表达式为．
∴点D坐标为（，0）．
∴PD=2，BD=，AD=．
，
∴．
∵∠PDB=∠ADP，
∴△PBD∽△APD．
∴∠BPD=∠BAP．
分析：（1）先求得B点坐标，再分析△ABP满足是直角三角形时P点的情况，可分为AB为直角边和AB为斜边两种情况作答．
（2）对（1）求得的P点坐标分别讨论是否满足二次函数抛物线，求得二次函数的解析式．
（3）由点的坐标可证得△PBD∽△APD，则∠BPD与∠BAP满足相等．
点评：本题考查了二次函数的综合应用，重点是求解函数的解析式．