Question

某公园在一个扇形OEF草坪上的圆心O处垂直于草坪的地上竖一根柱子OA，在A处安装一个自动喷水装置．喷头向外喷水．连喷头在内，柱高m，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，喷出的水流在与D点的水平距离4米处达到最高点B，点B距离地面2米．当喷头A旋转120°时，这个草坪可以全被水覆盖．如图1所示．
（1）建立适当的坐标系，使A点的坐标为（O，），水流的最高点B的坐标为（4，2），求出此坐标系中抛物线水流对应的函数关系式；
（2）求喷水装置能喷灌的草坪的面积（结果用π表示）；
（3）在扇形OEF的一块三角形区域地块△OEF中，现要建造一个矩形GHMN花坛，如图2的设计方案是使H、G分别在OF、OE上，MN在EF上．设MN=2x，当x取何值时，矩形GHMN花坛的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

解：（1）根据题意得出：图象顶点坐标为：（4，2），
故设解析式为：y=a（x-4）²+2，
将（O，），代入上式得：
=a（0-4）²+2，
解得：a=-，
∴抛物线水流对应的函数关系式为：y=-（x-4）²+2；

（2）当y=0时，
0=-（x-4）²+2，
解得：x₁=10，x₂=-2（舍去），
∴扇形半径为10米，
∴S==（平方米）；

（3）过点O作OA⊥EF于点A，交GH于点B，
∵∠EOF=120°，EO=FO=10，
∴∠OEF=∠OFE=30°，
∴AO=FO=5，
设MN=2x，
∴AM=BH=x，
∴BO=x，
∴MH=5-x，
由题意得出：
S=2x（5-x）=-x²-10x，
当x=-=时，
S的值最大为：S=（平方米）．
分析：（1）利用顶点式求出二次函数解析式即可；
（2）利用y=0时求出图象与x轴的交点坐标，进而得出扇形的半径，即可得出S的值；
（3）利用锐角三角函数关系得出MH的长，再利用二次函数最值公式求出即可．
点评：此题主要考查了二次函数的应用以及扇形面积公式和锐角三角函数的关系等知识，利用数形结合得出对应点的坐标与线段的长是解题关键．