Question

如图，在平行四边形ABCD中，∠D=60°，以AB为直径作⊙O，已知AB=10，AD=m．
（1）求O到CD的距离（用含m的代数式表示）；
（2）若m=6，通过计算判断⊙O与CD的位置关系；
（3）若⊙O与线段CD有两个公共点，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由于四边形ABCD是平行四边形，因此O到CD的距离和A到CD的距离相同．
因此可过A作CD的垂线，在构建的直角三角形中，用AD的长和∠D的余弦函数即可求出所求的距离；
（2）判定⊙O与CD的位置，比较O到CD的距离和⊙O半径的大小即可；
（3）设线段BC与圆O的交点为E（B点除外），如果CD与圆有两个公共点，必须满足的条件是：O到CD的距离小于半径的长并且要保证C点在E点的左侧．
可先求出E、C重合时，O到CD的距离．
连接AE易知：BE=2.5，然后过E作AB的垂线，同（1）可求出这个距离的长，由此可得出m的取值范围．

解答：解：（1）根据平行线间的距离相等，则O到CD的距离即为A到CD的距离．
根据∠D=60°，AD=m，得O到CD的距离是

3

2

m；
（2）当m=6时，

3

2

m=3

3

＞5，故相离；
（3）若⊙O与线段CD有两个公共点，则该圆和线段CD相交，则5≤m＜

10

3

3

．

点评：本题考查平行四边形的性质以及直线与圆的位置关系．
要注意的是（3）题所求的是线段CD与⊙O有两个公共点，不要当做直线CD来求解．