Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y交于点C，∠BAC的平分线与y轴交于点D，与抛物线相交于点Q，P是线段AB上一点，过点P作x轴的垂线，分别交AD，AC于点E，F，连接BE，BF．

（1）如图1，求线段AC所在直线的解析式；

（2）如图1，求△BEF面积的最大值和此时点P的坐标；

（3）如图2，以EF为边，在它的右侧作正方形EFGH，点P在线段AB上运动时正方形EFGH也随之运动和变化，当正方形EFGH的顶点G或顶点H在线段BC上时，求正方形EFGH的边长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当x=﹣1时，S△BEF的最大值=．P（﹣1，0）；（3）顶点G在线段BC上时，，正方形的边长为；顶点H在线段BC上时，，正方形的边长为．

【解析】

试题分析：（1）由抛物线解析式求得点A、C的坐标，然后根据待定系数法来求直线AC的直线方程即可；

（2）如答图2，在直角三角形AOC中利用勾股定理求得AC的长度；过点D作DI⊥AC于点I，构建全等三角形△ADI≌△ADO（SSA）和Rt△CDI，利用全等三角形的性质可以设DI=DO=m，则DC=OC﹣OD=4﹣m．所以根据勾股定理列出关于m的方程，借助于方程解题即可求得点D的坐标；然后利用待定系数法求得直线AD方程，由直线上点的坐标特征、三角形的面积公式和二次函数最值的求法来求△BEF面积的最大值和此时点P的坐标；

（3）需要分类讨论：①当顶点G在线段BC上时，如答图3．设P（t，0），则由一次函数图象上点的坐标特征和正方形的性质推知，，．所以由正方形的邻边相等得到：，易得EF、FG的长度，从而求得点P的坐标和正方形的边长；

同理，②当顶点H在线段BC上时，，正方形的边长为．

解：（1）如答图1，抛物线的解析式为：．

令x=0，则y=﹣4，

∴C（0，﹣4）．

令y=0，则，

解得，x1=﹣3，x2=1．

∴A（﹣3，0），B（1，0）．

设直线AC所在直线解析式为：y=kx+b（k≠0），

将A（﹣3，0），C（0，﹣4）代入可得，，

解得，

直线AC所在直线解析式为：；

（2）过点D作DI⊥AC于点I，如答图2．

∵A（﹣3，0），C（0，﹣4），

∴OA=3．

∴OC=4．

在Rt△AOC中，．

∵在△ADI与△ADO中，，

∴△ADI≌△ADO（SSA），

∴AI=AO=3，DI=DO．

设DI=DO=m，则DC=OC﹣OD=4﹣m．

∵IC=AC﹣AI，

∴IC=5﹣3=2．

在Rt△CDI中，∵ID2+IC2=DC2，

∴m2+22=（4﹣m）2，

解得，．

∴．

∴．

设直线AD所在直线解析式为：y=kx+b（k≠0），

将A（﹣3，0），代入可得，，

解得，

直线AD所在直线解析式为：．

又∵直线AC的解析式为：．

∴设P（n，0），则，，

∴BP=1﹣n，，

∴=．

∴该函数的对称轴是直线x=﹣1．

∴当x=﹣1时，S△BEF的最大值=．

此时，P（﹣1，0）；

（3）由B（1，0），C（0，﹣4）可得直线BC的解析式为：y=4x﹣4．

①当顶点G在线段BC上时，如答图3．

设P（t，0），则，，．

∴，．

∵EF=FG，

∴，

解得，．

∴．

∴顶点G在线段BC上时，，正方形的边长为；

②当顶点H在线段BC上时，如答图4．

设P（t，0），则，，．

∴，．

∵EF=EH，

∴，

解得，．

∴．

∴顶点H在线段BC上时，，正方形的边长为．

综上所述，顶点G在线段BC上时，，正方形的边长为；顶点H在线段BC上时，，正方形的边长为．