Question

5．长为$\sqrt{n}$，1+$\sqrt{n+2}$，$\sqrt{n}$+$\sqrt{n（n+2）}$的三条线段可以构成一个三角形，则自然数n=1，2．

Answer 1

分析 分类讨论：分n=1和n≥2两种情况．依据三角形的三边关系列出方程组并解答．

解答 解：①当n=1时，1、1+$\sqrt{3}$、1+$\sqrt{3}$，能围成三角形；
②当n≥2时，由三条线段的长为$\sqrt{n}$，1+$\sqrt{n+2}$，$\sqrt{n}$+$\sqrt{n（n+2）}$，
且$\sqrt{n}$＜1+$\sqrt{n+2}$＜$\sqrt{n}$+$\sqrt{n（n+2）}$，
要围成三角形，需$\sqrt{n}$+1+$\sqrt{n+2}$＞$\sqrt{n}$+$\sqrt{n（n+2）}$，
即$\sqrt{n（n+2）}$-$\sqrt{n+2}$＜1，
$\sqrt{n+2}$（$\sqrt{n}$-1）＜1，
∵$\sqrt{n+2}$＞$\sqrt{n}$，
∴$\sqrt{n}$（$\sqrt{n}$-1）＜$\sqrt{n+2}$（$\sqrt{n}$-1）＜1，
∴（$\sqrt{n}$-$\frac{1}{2}$）²＜$\frac{5}{4}$，
又∵n≥2，
∴$\sqrt{n}$-$\frac{1}{2}$＞0，
∴0＜$\sqrt{n}$-$\frac{1}{2}$＜$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
解得$\frac{1}{4}$＜n＜$\frac{\sqrt{5}+3}{2}$＜3，
∴n=2，
综上所知n=1，2．
故答案为：1，2．

点评 此题考查二次根式的运用，三角形的三边关系，从简单的自然数考虑，结合数据的特点，逐步缩小n的取值得出答案即可吗．