Question

【题目】如图，点E是边长为1的正方形ABCD的边AB上任意一点（不含A，B），过B，C，E三点的圆与BD相交于点F，与CD相交于点G，与∠ABC的外角平分线相交于点H．

（1）求证：四边形EFCH是正方形；
（2）设BE=x，△CFG的面积为y，求y与x的函数关系式，并求y的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵B、H、C、F、E在同一圆上，且∠EBC=90°

∴∠EFC=90°，∠EHC=90°，

又∵∠FBC=∠HBC=45°，

∴CF=CH，

∵∠HBF+∠HCF=180°，

∴∠HCF=90°，

∴四边形EFCH是正方形

（2）解：∵∠BFG+∠BCG=180°，

∴∠BFG=90°，

由（1）知∠EFC=90°，

∴∠CFG+∠BFC=∠BFE+∠BFC，

∴∠CFG=∠BFE，

∴CG=BE=x，

∴DG=DC﹣CG=1﹣x，

易知△DFG是等腰直角三角形，

∴△CFG中CG边上的高为 DG= （1﹣x），

∴y= x （1﹣x）=﹣ （x﹣ ）2+ ，

∴当x= 时，y有最大值

【解析】（1）利用圆内接四边形性质，圆周角定理，须证三个角是直角，再证一组邻边相等可得出结论；（2）利用圆内接四边形的性质可得CG=BE=x，△DFG是等腰直角三角形，利用“直角三角形斜边中线等于斜边一半”可得△CFG中CG边上的高为 DG,列出二次函数关系式，配成顶点式求出最大值.