Question

8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-$\frac{2}{3}$x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y交于点C，点A、C的坐标分别是（-1，0）、（0，2），连结AC．点P在抛物线上（点P不与点A、B重合），过点P作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点Q，抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结PD．设线段DQ的长度为d，点P的横坐标为m．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．
（2）求d与m之间的函数关系式．
（3）当△AOC与△DPQ全等时，求m的值．
（4）若点M在这条抛物线对称轴上，直接写出以点A、B、P、M为顶点的四边形是平行四边形时m的值．

Answer 1

分析 （1）根据点A、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的函数表达式；
（2）令y=0求出交点B的坐标，根据点P在抛物线上可找出点P的坐标，分点P在x轴的上方和下方考虑，找出d关于m的函数关系式；
（3）根据抛物线的解析式找出抛物线的对称轴，分△AOC≌△PQD和△AOC≌△DQP两种情况考虑，根据全等三角形的性质找出关于m的一元一次方程，解方程求出m的值，再验证m值是否适合题意．综上即可得出结论；
（4）分以线段AB为对角线和以线段AB为边两种情况考虑，根据平行四边形的性质结合点A、B的坐标即可得出m的值，此题得解．

解答 解：（1）将点A（-1，0）、C（0，2）代入y=-$\frac{2}{3}$x²+bx+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{-\frac{2}{3}-b+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{4}{3}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴这条抛物线所对应的函数表达式是$y=-\frac{2}{3}{x^2}+\frac{4}{3}x+2$．
（2）当y=0时，有-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴点B的坐标为（3，0）．
∵点P在抛物线上，
∴设点P的坐标是$（m，-\frac{2}{3}{m^2}+\frac{4}{3}m+2）$．
当-1＜x＜3时，点P在x轴的上方，
此时d=-$\frac{2}{3}{m}^{2}$+$\frac{4}{3}$m+2；
当-1＜x或x＞3时，点P在x轴的下方，
此时d=$\frac{2}{3}{m}^{2}$-$\frac{4}{3}$m-2．
故d=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{3}{m}^{2}+\frac{4}{3}m+2（-1＜x＜3）}\\{\frac{2}{3}{m}^{2}-\frac{4}{3}m-2（x＜-1或x＞3）}\end{array}\right.$．
（3）抛物线的对称轴是x=-$\frac{\frac{4}{3}}{2×（-\frac{2}{3}）}$=1．
当△AOC≌△PQD时，PQ=OA=1，DQ=OC=2．
∴m-1=1或1-m=1．解得m=2或m=0．
当m=2时，$d=-\frac{2}{3}{m^2}+\frac{4}{3}m+2=2$；
当m=0时，d=2．
∴m=2或m=0．
当△AOC≌△DQP时，PQ=OC=2，DQ=OA=1．
∴m-1=2或1-m=2．
解得m=3或m=-1．
当m=3时，$d=-\frac{2}{3}{m^2}+\frac{4}{3}m+2=0$；
当m=-1时，$d=-\frac{2}{3}{m^2}+\frac{4}{3}m+2=0$．
∵点P不与点A、B重合，
∴m=3或m=-1不合题意，舍去．
∴综上所述，m=2或m=0．
（4）以点A、B、P、M为顶点的四边形是平行四边形分两种情况（如图所示）：
①当线段AB为对角线时，∵抛物线的对称轴垂直平分AB，
∴点P为抛物线的顶点，
∴m=1；
②当AB为边时，∵线段AB在x轴上，
∴PM∥AB∥x轴，
∴点M、P的纵坐标相等．
∵四边形ABPM（或ABMP）是平行四边形，
∴|x_P-x_M|=AB=3-（-1）=4，即|m-1|=4，
解得：m₁=-3，m₂=5．
综上可知：以点A、B、P、M为顶点的四边形是平行四边形时m=-3、m=1或m=5．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据二次函数图象上点的坐标特征找出点P的坐标；（3）根据全等三角形的性质找出关于m的方程；（4）分以线段AB为对角线和以线段AB为边两种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．