Question

【题目】已知点O在直线MN上，过点O作射线OP，使∠MOP=130°，将一块直角三角板的直角顶点始终放在点O处．

（1）如图①，当三角板的一边OA在射线OM上，另一边OB在直线MN的上方时，求∠POB的度数；

（2）若将三角板绕点O旋转至图②所示的位置，此时OB恰好平分∠PON，求∠BOP和∠AOM 的度数；

（3）若将三角板绕点O旋转至图③所示位置，此时OA在∠PON 的内部，若OP所在的直线平分∠MOB，求∠POA 的度数；

Answer 1

【答案】（1）40°；（2）25°；65°；（3）40°

【解析】

（1）根据题意，∠POB=∠POA-∠AOB代入数据即可求出结论；

（2）根据题意，∠PON=180°-∠POM,又根据角平分线的定义可得∠POB=∠NOB

=,代入已知即可求解；再根据余角定义求出∠POA的度数；

（3）从已知条件可得，∠MOE=180°-∠MOP,再根据角平分线的定义得∠MOB=2∠MOE, ∠NOA=180°-∠MOB, ∠AON=90°-∠BON, ∠POB=∠PON-∠AON,代入求值即可．

解：（1）∠POB=∠MOP-∠AOB=130°-90°=40°．

（2）∵∠MON是平角，∠MOP=130°，

∴∠PON=∠MON-∠MOP=180°-130°=50°

∵OB 平分∠PON，

∴∠BOP=∠PON=25°

∵∠AOB=90゜，

∴∠AOP=∠AOB-∠BOP=90°-25°=65°

∴∠MOA=∠MOP-∠AOP=130°-65°=65°；

（3）如图，OE是PO的延长线，

∵∠MOP=130°

∴∠MOE=50°

∵OE是∠MOB的平分线，

∴∠MOB=100°，

∴∠BON=80°

∵∠AOB=90°

∴∠AON=∠AOB-∠BON=90°-80°=10°

∴∠POA=∠PON-∠AON=50°-10°=40°