Question

【题目】有一个二次函数满足以下条件：

①函数图象与x轴的交点坐标分别为A（1，0），B（x2，y2）（点B在点A的右侧）；

②对称轴是x=3；

③该函数有最小值是﹣2．

（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；

（2）将该函数图象x＞x2的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”，平行于x轴的直线与图象“G”相交于点C（x3，y3）、D（x4，y4）、E（x5，y5）（x3＜x4＜x5），结合画出的函数图象求x3+x4+x5的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y=（x﹣3）2﹣2；（2）11＜x3+x4+x5＜9+2．

【解析】

（1）利用二次函数解析式的顶点式求得结果即可；

（2）由已知条件可知直线与图象“G”要有3个交点．分类讨论：分别求得平行于x轴的直线与图象“G”有2个交点、1个交点时x3＋x4＋x5的取值范围，易得直线与图象“G”要有3个交点时x3＋x4＋x5的取值范围．

（1）有上述信息可知该函数图象的顶点坐标为：（3，﹣2）

设二次函数表达式为：y=a（x﹣3）2﹣2．

∵该图象过A（1，0）

∴0=a（1﹣3）2﹣2，解得a=．

∴表达式为y=（x﹣3）2﹣2

（2）如图所示：

由已知条件可知直线与图形“G”要有三个交点

1当直线与x轴重合时，有2个交点，由二次函数的轴对称性可求x3+x4=6，

∴x3+x4+x5＞11，

当直线过y=（x﹣3）2﹣2的图象顶点时，有2个交点，

由翻折可以得到翻折后的函数图象为y=﹣（x﹣3）2+2，

∴令（x﹣3）2+2=﹣2时，解得x=3+2或x=3﹣2（舍去）

∴x3+x4+x5＜9+2．

综上所述11＜x3+x4+x5＜9+2．