Question

10．如图1，点C将线段AB分成两部分，如果$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$，那么称点C为线段AB的黄金分割点，某教学兴趣小组在进行研究时，由“黄金分割点”联想到“黄金分割线”，类似的给出“黄金分割线”的定义：“一直线将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S₁，S₂，如果$\frac{{S}_{1}}{S}=\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$，那么称这条直线为该图形的黄金分割线．
（1）如图2，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠C的平分线交AB于点D，请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线，并证明你的结论；
（2）如图3，在边长为1的正方形ABCD中，点E是边BC上一点，若直线AE是正方形ABCD的黄金分割线，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）如图2，根据等高三角形的面积比等于底的比可得$\frac{{S}_{△BCD}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{BD}{AD}$，$\frac{{S}_{△ADC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{AD}{AB}$，要证直线CD是△ABC的黄金分割线，只需证$\frac{{S}_{△BCD}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{{S}_{△ADC}}{{S}_{△ABC}}$，只需证$\frac{BD}{DA}$=$\frac{DA}{BA}$，易证BC=AD，只需证$\frac{BD}{BC}$=$\frac{BC}{BA}$，只需证△BCD∽△BAC即可；
（2）设BE=x，如图3，易得S_△ABE=$\frac{1}{2}$x，S_{正方形ABCD}=1，S_{四边形ADCE}=1-$\frac{1}{2}$x．由直线AE是正方形ABCD的黄金分割线可得$\frac{{S}_{△ABE}}{{S}_{四边形ADCE}}$=$\frac{{S}_{四边形ADCE}}{{S}_{正方形ABCD}}$，由此得到关于x的方程，解这个方程就可解决问题．

解答 解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．
理由：如图2，
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{180°-36°}{2}$=72°．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=36°，
∴∠BDC=72°=∠B，∠A=∠ACD，
∴BC=DC，AD=DC，
∴BC=AD．
∵∠B=∠B，∠BCD=∠A，
∴△BCD∽△BAC，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{BC}{BA}$，
∴$\frac{BD}{DA}$=$\frac{DA}{BA}$．
∵$\frac{{S}_{△BCD}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{BD}{AD}$，$\frac{{S}_{△ADC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{{S}_{△BCD}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{{S}_{△ADC}}{{S}_{△ABC}}$，
∴直线CD是△ABC的黄金分割线；

（2）设BE=x，如图3，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$AB•BE=$\frac{1}{2}$x，S_{正方形ABCD}=1²=1，
∴S_{四边形ADCE}=1-$\frac{1}{2}$x．
∵直线AE是正方形ABCD的黄金分割线，
∴$\frac{{S}_{△ABE}}{{S}_{四边形ADCE}}$=$\frac{{S}_{四边形ADCE}}{{S}_{正方形ABCD}}$，
∴S_{四边形ADCE}²=S_△ABE•S_{正方形ABCD}，
∴（1-$\frac{1}{2}$x）²=$\frac{1}{2}$x•1，
整理得：x²-6x+4=0，
解得：x₁=3+$\sqrt{5}$，x₂=3-$\sqrt{5}$．
∵点E是边BC上一点，
∴x＜1，
∴x=3-$\sqrt{5}$，
∴BE长为3-$\sqrt{5}$．

点评 本题属于新定义型，考查了等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、角平分线的定义、等高三角形的面积比等于底的比、解一元二次方程等知识，利用等高三角形的面积比等于底的比是解决第（1）小题的关键；利用黄金分割线的定义是解决第（2）小题的关键．